课时测评19 三角恒等变换的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评19　三角恒等变换的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知cos θ＝－，且θ∈(0，π)，则cos等于(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：B 解析：因为θ∈(0，π)，∈，cos>0，所以cos＝＝＝.故选B． 2．(一题多解)若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 答案：A 解析：法一：因为cos α＝－，α是第三象限角，所以sin α＝－，tan＝＝＝－3.所以＝＝－.故选A． 法二：因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－.所以＝＝＝＝＝－.故选A． 3．sincos化为和差的结果是(　　) A．sin(α＋β)＋cos(α－β) B．cos(α＋β)＋sin(α－β) C．sin(α＋β)＋sin(α－β) D．cos(α＋β)＋cos(α－β) 答案：B 解析：原式＝ ＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．故选B． 4．当3π<α<4π时，－＝(　　) A．sin B．－sin C．sin D．－sin 答案：A 解析： －＝－＝－. 因为3π<α<4π，所以<<2π，所以sin <0，cos >0.所以原式＝sin ＋cos ＝sin.故选A． 5．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　) A．＋ B．－ C．＋ D．－ 答案：D 解析：tan α－tan β＝3，且α－β＝，则－＝＝＝＝3，整理得cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，整理得sin αsin β＝－，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＋＝－.故选D． 6．已知sin α＝，α在第二象限，则tan ＝________． 答案：3 解析：因为已知sin α＝，α在第二象限，所以cos α＝－＝－，所以tan ＝＝＝3. 7．cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°的值为_____________________． 答案： 解析：原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°＝2cos cos ＋cos 60°－cos 20°＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°＝cos 60°＝. 8．化简：··＝______________________. 答案：tan 解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan. 9．(10分)化简： . 解：原式＝ ＝ ＝＝. 10．(10分)求证：＝sin 2α. 证明：方法一　左边＝ ＝＝ ＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二　左边＝＝cos2α·＝cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边． 所以原式成立． 11．(5分)函数y＝sincos x的最大值为(　　) A． B． C．1 D． 答案：B 解析：y＝sincos x＝＝＝sin－.所以ymax＝－＝.故选B． 12．(5分)已知coscos＝－，α∈.则sin 2α＝________． 答案： 解析：因为coscos＝＝cos＝－所以cos＝－，因为α∈，所以2α－∈，所以sin＝，所以sin 2α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 13．(10分)已知f(x)＝2cos ωxsin ωx－2cos2ωx＋1(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求f(x)；(4分) (2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值并求相应的x值．(6分) 解：(1)函数f(x)＝2cos ωxsin ωx－2cos2ωx＋1 ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin， 因为T＝π， 所以2ω＝， 解得ω＝1， 所以f(x)＝2sin. (2)当x∈时，2x－∈， 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－1， 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝2， 所以，x＝0时，f(x)min＝－1， x＝时，f(x)max＝2. 14．(5分)(新情境)数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB＝θ，则由tan∠BCH＝可以直接证明的三角函数公式是(　　) A．tan＝ B．tan＝ C．tan＝ D．tan＝ 答案：C 解析：由已知∠COB＝θ，则∠CBO＝－，∠BCH＝，又tan＝，sin θ＝，cos θ＝，BH＋OH＝OB＝OC，因此＝＝＝tan.故选C． 15．(15分)已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝. 证明：由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，① cos A＋cos B＝－cos C，② 所以2sincos＝－sin C，③ 2cos cos ＝－cos C．④ 因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0不成立， 所以cos ≠0. ③÷④，得tan ＝tan C． 所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C． ①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1，即cos(A－B)＝－，所以cos2A＋cos2B＋cos2C ＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C) ＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C] ＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $