8.1.3 向量数量积的坐标运算 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．5 B．14 C．－6 D．2 解析：选B.方法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14. 方法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝a2－a·b， 所以a·b＝a2－11＝32＋42－11＝14. 2．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．8 B．5 C．2 D．7 解析：选C.因为＝(2，3)，＝(3，t)，所以＝－＝(1，t－3)，因为||＝1，所以12＋(t－3)2＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.故选C. 3．已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18).若a，b的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C.因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6). 又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)， 所以a·b＝－20＋36＝16. 又|a|＝5，|b|＝13， 所以cos θ＝＝＝. 4．已知向量a＝(，)，b＝(，)，则下列关系正确的是(　　) A．a⊥b B．(a－b)⊥(a＋b) C．a⊥(a－b) D．a⊥(a＋b) 解析：选B.因为|a|＝|b|＝1，所以(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝0，故(a－b)⊥(a＋b)，经检验其他选项均不符合题意．故选B. 5．(2025·东营月考)已知向量＝2，＝(3，－)，＝(1，)，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B．3 C．3 D． 解析：选B.因为＝2，·＝3－3＝0，所以⊥，所以四边形ABCD为直角梯形．||＝2，||＝，||＝2，则四边形ABCD的面积S＝＝3. 6．(多选)已知向量a＝(－1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b的夹角为钝角，则实数λ的值可以是(　　) A．－1 B．4 C．2 D．5 解析：选CD.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即(－1，－2)·(2，λ)＝－2－2λ＜0，所以λ＞－1.又当a与b反向时，夹角为180°，即a·b＝－|a|·|b|，则2λ＋2＝·，解得λ＝4.故a，b夹角为钝角时，λ＞－1且λ≠4，结合选项可知，λ值可以是2，5.故选CD. 7．已知向量a，b不共线，a＝(2，1)，a⊥(b－a)，写出一个符合条件的向量b的坐标为________________________________________________． 解析：由题意得|a|2＝5，a·(b－a)＝a·b－a2＝0，则a·b＝5.设b＝(x，y)，得2x＋y＝5，且x≠2y，故满足条件的向量b的坐标可以为(1，3). 答案：(1，3)(答案不唯一) 8．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________． 解析：因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又|a＋b|＝5， 所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， 所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5. 答案：5 9．(2025·北京期末)已知P是边长为3的正方形ABCD内(包含边界)的一点，则·的最大值是________． 解析：以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，(0≤x≤3，0≤y≤3)， 可得A(0，0)，B(3，0)， 所以＝(x，y)，＝(3，0)， 故·＝(x，y)·(3，0)＝3x， 当x＝3时，·最大，最大值为9. 答案：9 10．(13分)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－2). (1)求|a－b|；(6分) (2)已知|c|＝，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．(7分) 解：(1)由题知，a＝(1，2)，b＝(3，－2)， 所以a－b＝(－2，4)， 所以|a－b|＝＝2. (2)由题知，a＝(1，2)，|c|＝，(2a＋c)⊥c， 所以|a|＝，(2a＋c)·c＝0， 所以2a·c＋c2＝0，设向量a与向量c的夹角为θ， 所以2|a||c|cos θ＋|c|2＝0， 即2×××cos θ＋10＝0， 解得cos θ＝－，因为θ∈[0，π]， 所以向量a与向量c的夹角为. 11．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．0 解析：选B.因为＋＝，所以n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，所以n·＝n·－n·＝7－(3×2－1×1)＝2. 12．(多选)已知向量a＝(－4，2)，b＝(2，t)，则下列说法正确的是(　　) A．当a⊥b时，t＝4 B．当a∥b时，t＝－1 C．当a与b夹角为锐角时，t的取值范围为(4，＋∞) D．当t＝2时，a在b上的投影为(1，1) 解析：选ABC.对于A，当a⊥b时，－4×2＋2t＝0，可得t＝4，故A正确； 对于B，当a∥b时，－4t－4＝0，可得t＝－1，故B正确； 对于C，当a与b的夹角为锐角时，a·b＝－8＋2t＞0，可得t＞4，当a＝λb(λ＞0)时，解得t＝－1，λ＝－2，不符合题意， 可得a与b夹角为锐角时，t的取值范围为(4，＋∞)，故C正确； 对于D，当t＝2时，a在b上的投影为()＝×＝(－1，－1)，故D错误． 13．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝________________________________________________. 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB＝，BC＝2，所以A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，因为点E在边CD 上，且＝2，所以E(，2). 所以＝(，2)，＝(－，2)， 所以·＝－＋4＝. 答案： 14．(13分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(6分) (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．(7分) 解：(1)设以线段AB，AC为邻边的平行四边形为ABDC，所以＝(3，5)，＝(－1，1)， 对角线＝＋＝(2，6)，因此||＝2； 另一条对角线＝－＝(－4，－4)，因此||＝4.所以以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为2，4. (2)由题意得＝(3，5)，＝(－2，－1)， 由(－t)·＝0，得[(3，5)－t(－2，－1)]·(－2，－1)＝0，解得t＝－. 15．(15分)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝3，CD＝1. (1)若k－与垂直，求k的值；(6分) (2)若P为AB边上的动点(不包括端点)，求(＋)·的最小值．(9分) 解：(1)过D作DO⊥AB于点O，易知AO＝1，OB＝2，又∠DAB＝45°，故可得OD＝1， 以O为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1), 所以＝(3，0)，＝(1，1)，＝(2，1), 故k－＝(3k，0)－(1，1)＝(3k－1，－1)， 因为k－与垂直， 所以(3k－1)×2＋(－1)×1＝0, 解得k＝. (2)设P(x，0)，－1<x<2，则＝(1－x，1)，＝(－x，1)，则＝(－1－x，0)，则(＋)·＝(1－2x，2)·(－1－x，0)＝2x2＋x－1，令y＝2x2＋x－1，x∈(－1，2)，其图象的对称轴为x＝－，故其最小值为2×2－－1＝－，所以(＋)·的最小值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $