课时测评15 向量数量积的坐标运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评15　向量数量积的坐标运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知a＝(3，－1)，b＝(x，2)，且a·b＝－5，则x＝(　　) A．－11 B．11 C．－1 D．1 答案：C 解析：因为知a＝(3，－1)，b＝(x，2)，由a·b＝－5＝3x－2＝－5，解得x＝－1.故选C． 2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案：A 解析：·＝＋＝，||＝||＝1，所以cos∠ABC＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A． 3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 答案：D 解析：因为向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，所以a·b＝(2，4)·(－1，2)＝－2＋8＝6，所以c＝a－(a·b)b＝(2，4)－6(－1，2)＝(2，4)－(－6，12)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.故选D． 4．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为(　　) A． B．∪(2，＋∞) C． D． (－2，2) 答案：B 解析：若a与b的夹角α为钝角，则向量a与b的数量积小于0且两向量不为反向向量，所以a·b＝(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，得λ>－ ，若向量a与b为反向向量，则a＝μb(μ<0)，所以解得λ＝2，可知：若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是λ>－且λ≠2.故选B． 5．已知向量a＝(m，1)，b＝(－1，2)，若(a－2b)⊥b，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：设a与b的夹角为θ，依题意，a－2b＝(m＋2，－3)，由(a－2b)⊥b，则(a－2b)·b＝0，即－m－2－6＝0，解得m＝－8，则a＝(－8，1)，a·b＝－8×(－1)＋1×2＝10，|a|＝＝，|b|＝＝.所以cos θ＝＝＝.故选B． 6．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________． 答案：8 解析：因为a⊥b，所以a·b＝－4×6＋3m＝0，解得m＝8. 7．a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则2|a|2－3a·b＝________． 答案：44 解析：因为a＝(－4，3)，所以2|a|2＝2×(＝50.a·b＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44. 8．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________． 答案：－1 解析：ma－b＝(m＋1，－m)．因为a⊥(ma－b)，所以a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，所以m＝－1. 9．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值；(4分) (2)若a∥b，求|a－b|.(6分) 解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)， |a－b|＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝2； 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)， |a－b|＝|(1，－2)－(－1，2)|＝|(2，－4)|＝2. 10．(10分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)． (1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；(4分) (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.(6分) 解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得 所以或 故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)． (2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1， 故cos θ＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 11．(5分)(多选)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝，则·可能的值是(　　) A．－4 B．－2 C．8 D．3 答案：AC 解析：因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝，解得t＝1或5，当t＝1时，＝(1，－2)，所以·＝－4，当t＝5时，＝(1，2)，所以·＝8.故选AC． 12．(5分)(新角度)若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过A的直线l与函数的图象交于B，C两点，O为坐标原点，则(＋)·＝(　　) A．－32 B．－16 C．16 D．32 答案：D 解析：令f(x)＝2sin(x＋)＝0，得x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝6k－2，k∈Z.因为－2＜x＜10，所以x＝4，即A(4，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，所以B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(＋)·＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4，0)＝4(x1＋x2)＝32.故选D． 13．(13分)已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x与y之间的关系式；(5分) (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．(8分) 解：(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)， 所以＝－＝(－x－4，2－y)． 又∥，且＝(x，y)， 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． 因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，化简得y2－2y－3＝0，解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6，此时＝(0，4)， ＝(－8，0)； 当y＝－1时，x＝2，此时＝(8，0)， ＝(0，－4)； 所以S四边形ABCD＝||·||＝×8×4＝16. 14．(17分)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R. (1)求λ为何值时，|c|最小？此时b与c的位置关系如何？(7分) (2)求λ为何值时，a与c的夹角最小？此时a与c的位置关系如何？ (10分) 解：(1)由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得 c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 当λ＝－时，|c|最小，此时c＝， b·c＝0，所以b⊥c. (2)设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大， 由于θ∈[0, π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1， 解得λ＝0，c＝(1，2)． 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. 学科网（北京）股份有限公司 $