8.1.3 向量数量积的坐标运算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 1.已知向量a＝（2，），b＝（－1，），则向量a在b上的投影向量为（　　） A.　　　　　　B. C. D. 2.已知向量a＝（2，1），b＝（1，1），若（λa＋b）⊥（2a－b），则λ＝（　　） A.－ B.－ C. D. 3.〔多选〕已知平面向量a＝（1，），b＝（3，），则下列说法正确的是（　　） A.｜a＋b｜＝2 B.b·（b－a）＝6 C.a与b的夹角为 D.a在b上的投影向量为b 4.设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C.2 D.10 5.〔多选〕 已知平面向量a＝（m，m＋2），m∈R，b＝（3，4），则下列结论正确的是（　　） A.｜a｜的最小值为 B.若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是（ －，＋∞） C.一定存在一个实数m，使得｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.若m＝1，则b在a上的投影向量的坐标为（ ，） 6.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为（　　） A.　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.1 7.已知平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为　　　　，的值为　　　　. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，4），B（－2，3），C（2，－1），若（－t）⊥，则实数t＝　　　　. 9.已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），则｜2a－b｜的最大值为　　　　. 10.已知向量a＝（1，2），b＝（2，x）. （1）若a⊥（a－b），求｜b｜； （2）若向量c＝（－3，－2），a∥（b＋c），求a与b夹角的余弦值. 11.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos＜，＞，余弦距离为1－cos（A，B）.已知点A（sin θ，cos θ），B（0，1），若A，B的余弦距离为，则锐角θ＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 12.已知向量m＝（λ＋2，1），n＝（λ＋1，2），若（m＋n）⊥（m－n），则向量m，n的夹角的余弦值为　　　　，m＋n在n方向上的投影的数量为　　　　　. 13.已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R. （1）求λ为何值时， ｜c｜最小？此时b与c的位置关系如何？ （2）求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 14.〔多选〕在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　） A.－1 B. C. D. 15.在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点. （1）若｜｜＝｜｜，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值； （2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝｜｜＝，求·＋·的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 8.1.3向量数量积的坐标运算 1.Ab=(-1,5),·|b|=2.又：向量a=(2,V5),.向量a在b的投影的数量为 普=24x5=支，所以向量a在b上的投影向量为1ae0s<a,b>合=费·合= 2 (-含誓)故选A 2.A因为a=(2,1),b=(1,1),所以2a+b=(2,1)+(1,1)=(2+1,+1), 2a-b=2(2,1)-(1,1)=(3,1).因为(1a+b)⊥(2a-b),所以(a+b)·(2a-b) =0,所以3(21+1)+1（元+1）=0，解得入=-等. 3.ABD对于A,因为a+b=(4,25)，所以|a+b1=V4+(23=2V万，故A正确：对 于B,因为b-a=(2,0),所以b·(b-a)=6,故B正确；对于C,因为a·b=6,1a1= 2,1b1=25,则os<a,b>=帝-号，且<a,b>∈[0，，所以a与b的夹角为吾，故 C错误：对于D,结合C可知a在b上的投影向量为普b=b,故D正确.故选A、B、D. 4.B因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,所以x =2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.所以a=(2,1),b=(1,-2).所以a十b= (3,-1),所以1a+b1=32+(-12=V10. 5.ACD对于A,因为a=(m,m+2),m∈R,则|a|=Vm2+(m+22=2(m+1+2≥ V2,当且仅当m=一1时取等号，所以|a|的最小值为V2,故A正确；对于B,若a与b的夹角 为锐角，则a·b>0且a与b不同向，所以3m十4(m十2)>0且4m≠3(m十2)，解得m>-号 且m≠6，故B错误；对于C,若|a十b|=|a-b1,则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以 a·b=0,则3m十4(m十2)=0，解得m=-号，即存在m=-号，使得|a十b1=|a-b|,故C 正确；对于D,当m=1时，a=(1,3),所以a·b=1×3+3×4=15,又|a|=V32+1= V而，所以b在Q上的投影向量的坐标为曾·白=品×扁=a=(是，号)，故D正确故选 A、C、D. 6.A建立如图所示的坐标系4y,可得A(0,0),B(V2,0)，E(V2,1),F(x,2)，则 AB=(V2,0),A正=(x,2)，于是AB·A正=V2x=V2,解得x=1,因此F(1,2),A正= (V2,1),B=(1-V2,2),A正·B示=2(1-V2)+1×2=2.故选A. 1/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 7.180°-号解析：设a,b的夹角为0，则a·b=|a|1b|·cos0=-6,cos0=-1,0 =180,即0,6共线且发制，六4=一b的=一月=，微=一子 8.-1解析：AB=(-3,-1),0元=(2，-1)，∴AB-o元=(-3-2，-1+t),又 AB-o元)⊥0C,∴.(-3-21)×2+(-1十)·(-1)=0.1=-1. 9.2十3解析：2a-b=(2cos0-3,2sin0),|2a-b1 =V(2cos0-V3)2+(2si血0片 =V4cos20-4V3c0s6+3+4sin20 =V7-4W3c0s0,当且仅当cos0=-1时，|2a-b|取最大值2十V3. 10.解：(1)因为a=(1,2),b=(2,x),所以a-b=(-1,2-x). 由a⊥(a-b),可得a·(a-b)=0, 即-1X1十2(2-x)=0,解得x=号， 所以b=(2,号)，故|b1=号. (2)依题意得b十c=(一1，x-2). 因为a∥(b+c),所以x-2+2=0, 解得x=0,则b=(2,0). ab=2,1al=V5,1b1=2, 所以e0s<a,b>=帝-写， 所以口与b夹角的余弦值为号。 1.B由题意得1-cos(4,B)-29,故cos4,B)-9,OA=(sim6,cos0),O2= 2 OAOB (0,1)cos (4,B)=cos<OA,B (sin8,cos8）·(0,1】 =Vsin28+oos36×1 =cos 0, 故cos6=县，所以锐角0=吾。 2/4 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 12.手9 解析：由题意知向量m十n=(2十3,3)，m一n=(1,-1),因为(m十n)⊥ (m-n)，所以元=0.所以m=(2,1),n=(1,2),cos<m,n>=寺，m十n=(3,3).m十 n在n方向上的投影的数量为|m十n|cos<m十n,n>=扣)卫=5 13.解：(1)由a=(1,2),b=(-3,4), 得c=a+1b=(1-3,2+42), 1cl2=c2=(1-32)2+(2+4n)2=5+101+252=25(1+吉)+4， 当=-吉时，1c|最小，此时c=(是号)，b·c=0,所以b⊥c (2)设向量a与c的夹角为0，则 ac 5+51 1+a c0s0-c-55410+25元-+2+5元， 要使向量a与c的夹角最小，则cosB最大， 1+以 由于6∈[0，元]，所以cos的最大值为1，此时=0，+2+5元=1，解得1=0，c=(1,2)· 所以当=0时，a与c的夹角最小，此时a=c. 14.BCD在△4BC中，AB=(2,3),AC=(1,k),①当A=90°时，AB·AC=0,即2×1 +3k=0,解得k=-号.②当B=90°时，BC=AC-AB=(-1,k-3),且AB·B元=0，即2× (-1)+3×(k-3)=0,解得k=号.③当C=90°时，AC·B元=0，即-1+k(k-3)=0,整 理得2一3冰-1=0，解得k=厘.综上知，k的取值为一寻或号或国 15.解：(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为0，|AB|=|AC|=a. ·ABLA元，A館·A元=0， (A+2AC)·(2AB+AC)=2AB2+5AB·AC+2AC=42, |AB+2A元|=√AB+2AC2 =B+4AA元c+4c2=5a, 同理可得|2AB+AC|=V5a, A+2A元)·(2AB+A元) ∴.cos0= +2品-装-手。 (2)A⊥AC,|AB|=|AC1=2,.IA应|=1. 设|0A|=x(0≤x≤1)，则|OM|=1-x,而0i+O元=20M, 3/4 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 OA·Oi+0元·OA=OA·(0i+0元)=2OA·OM=2|OA|·|0M1·cosπ=-2x(1- x)=2x2-2x=2(x-)-克， 当且仅当x=时，OA·0B+O元·OA取得最小值-克 4/4 ·独家授权侵权必究·