8.1.2 向量数量积的运算律 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)＝(　　) A． B． C．3 D．5 解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9， 又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1.故选C. 3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D.因为a∥b且a⊥c， 所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0， c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 4．已知向量a，b的夹角为60°， 且|a|＝2，|a－2b|＝2，则向量b在a上的投影的数量为(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.由题设，|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝28， 而a·b＝|a||b|cos 60°＝|a|·|b|＝|b|， 所以|b|2－|b|－6＝0，可得|b|＝3或|b|＝－2(舍去)， 则向量b在a上的投影的数量为|b|cos 60°＝.故选B. 5．(2025·沈阳月考)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝3，若与向量b垂直的非零向量c满足c＝λa＋μb(其中λ，μ∈R)，则＝(　　) A．－ B．1 C．6 D．－ 解析：选D.由c＝λa＋μb，b⊥c，得b·c＝b·(λa＋μb)＝λa·b＋μb2＝0.又a·b＝|a||b|cos ＝，b2＝9，所以λ＋9μ＝0，整理得＝－. 6．(多选)(2025·济南期末)已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 解析：选AC.对于A，由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则|b|＝||＝2，故A正确；对于B，a·b＝·＝||||cos 120°＝×2×2×＝－1，故B错误；对于C，(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；对于D，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故D错误． 7．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝________． 解析：因为|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，所以|2a＋3b|＝16. 答案：16 8．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________． 解析：因为|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，所以a2＋b2＋2a·b＝2，所以a·b＝－2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝. 答案： 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，DE＝EC，BF＝BC，设＝a，＝b，则＝______________(用a，b表示)，·＝____________． 解析：因为DE＝EC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b.因为BF＝BC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b，因此·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b2.因为∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，所以|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，所以·＝×36＋×6×3×＋×9＝. 答案：a＋b　 10．(13分)已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝. (1)求a与b的夹角θ；(6分) (2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.(7分) 解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7， 所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7， 所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0， 所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0， 所以t＝1，即c＝a＋b，所以c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.所以|c|＝. 11．已知P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：选B.由|－|－|＋－2|＝0，可得||＝|＋－2|，即||＝|＋|，即|－|＝|＋|.等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，所以⊥，即AB⊥AC，因此，△ABC是直角三角形．故选B. 12．(多选)(2025·大连月考)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ.以下结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．|e1－2e2|＝|2e1－e2| C．(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2上的投影的数量为sin θ 解析：选ABC.对于A，由于e1·e2≤|e1||e2|＝1，所以不存在θ，使e1·e2＝，故A正确；对于B，由于|e1－2e2|2＝1－4e1·e2＋4＝5－4e1·e2，|2e1－e2|2＝4－4e1·e2＋1＝5－4e1·e2，故|e1－2e2|＝|2e1－e2|，故B正确；对于C，由于(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝1－1＝0，故(e1－e2)⊥(e1＋e2)成立，故C正确；对于D，e1在e2上的投影为|e1|cos θe2＝cos θe2，所以投影的数量为|cos θ|，故D错误． 13．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝t e1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是____________________________________________________________________． 解析：因为a，b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且a，b不同向共线， 当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(t e1＋2e2) ＝3t e＋(6＋2t)e1·e2＋4e ＝3t＋(6＋2t)＋4>0， 解得t>－， 当a，b同向共线时，存在唯一的实数λ(λ>0)，使a＝λb， 即3e1＋2e2＝λ(t e1＋2e2)， 所以解得 所以当t≠3时，a，b不同向共线， 综上，t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞). 答案：(－，3)∪(3，＋∞) 14．(13分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)⊥c；(6分) (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．(7分) 解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 且a，b，c之间夹角均为120°， 所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)因为|ka＋b＋c|>1， 所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1， 即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. 因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－， 所以k2－2k>0，解得k<0或k>2， 即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 15．(15分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点). (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；(7分) (2)若AB＝2，当·＝1时，求 cos ∠EAF 的值．(8分) 解：(1)因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 所以＝＝，＝－＝－， 所以＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ， 所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝. (2)设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝－m， 又＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝(＋)·(－m)＝－m2＋2＝－4m＋2＝1， 故m＝. 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝3＋2＝5， 易得||＝，||＝， 所以cos ∠EAF＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $