课时测评14 向量数量积的运算律-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评14　向量数量积的运算律 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 答案：B 解析：向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选B． 2．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，可得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，设a与b的夹角为θ，则有2|a|2＋|a|×4|a|×cos θ＝0，即cos θ＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C． 3．正△ABC的边长为1，则·＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：因为正△ABC的边长为1，故A＝， 则·＝||||cos A＝1×1×＝.故选D． 4．已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b的方向上的投影为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：|a－2b|＝4，即(a－2b)2＝16，从而得a2－4a·b＋4b2＝16，所以－4a·b＋4|b|2＝15①，|a＋2b|＝2，即(a＋2b)2＝4，从而得a2＋4a·b＋4b2＝4，所以4a·b＋4|b|2＝3②，联立①②解得|b|＝，a·b＝－，所以a在b的方向上的投影为＝＝－1.故选A． 5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－3 C．2 D．3 答案：D 解析：因为|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，所以 (a＋λb)·(2a－b)＝2|a|2－λ|b|2＋(2λ－1)a ·b＝8－λ＋(2λ－1)×2×1×cos ＝9－3λ，因为(a＋λb)⊥(2a－b)，所以(a＋λb)·(2a－b)＝0，所以9－3λ＝0，故λ＝3.故选D． 6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________． 答案：3 解析：因为向量a，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝.所以＝，化为4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10，化为|b|2－2|b|－6＝0，因为|b|≥0，解得|b|＝3. 7．已知向量⊥，||＝3，则·＝________． 答案：9 解析：因为⊥，所以·＝0，所以·＝·(＋)＝||2＋·＝||2＝32＝9. 8．已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影的数量为________． 答案：－1 解析：因为向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.所以|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.所以a·b＝－5，|b|＝1，所以向量b在向量a上的投影的数量为|b|·cos〈a，b〉＝|b|·＝＝＝－1. 9．(17分)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求： (1)(a－2b)·(a＋b)；(4分) (2)|2a－b|；(5分) (3)a与a＋b的夹角．(8分) 解：(1)a·b＝4×2×cos 120°＝－4， 所以(a－2b)·(a＋b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16＋4－8＝12. (2)(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2 ＝64＋16＋4＝84， 所以|2a－b|＝2. (3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16－8＋4＝12， 所以|a＋b|＝2， 又a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4＝12， 所以cos〈a，a＋b〉＝ ＝＝，又〈a，a＋b〉∈[0，π] 所以a与a＋b的夹角为. 10．(17分)已知|a|＝3，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·a；(8分) (2)若a与b不共线，当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．(9分) 解：(1)因为|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为60°， 所以(a＋2b)·a＝|a|2＋2b·a＝9＋2×3×4×＝21. (2)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 整理得a2－k2b2＝0， 又|a|＝3，|b|＝4， 所以9－16k2＝0，解得k＝±. (11－13每小题5分，共15分) 11．点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 答案：B 解析：因为·＝·，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥．同理可得⊥，⊥，所以点O是△ABC的垂心．故选B． 12．(多选)下列关于平面向量a，b，c的判断正确的有(　　) A．若|a－b|＝|a|＋|b|，则a∥b B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a∥c，则(a·b)c＝(b·c)a D．若a·b＝b·c，则a＝c 答案：AC 解析：对于A，若|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得，－2a·b＝2|a|·|b|，即 －|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|·|b|，得cos〈a，b〉＝－1，所以a∥b，故A正确；对于B，当b＝0时，显然a∥c不一定成立，故B错误 ；对于C，若(a·b)c＝(b·c)a，则λc＝μa，其中λ＝a·b，μ＝b·c，根据向量共线定理得，a∥c，故C正确．对于D，当b＝0时，显然a＝c不一定成立，故D错误．故选AC． 13.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，E，D分别是直线AB，AC上的点，＝2，＝4且·＝－2，则∠BAC＝________；若P是线段DE上的一个动点，则·的最小值为________． 答案：　 解析：因为＝2，＝4，所以＝＋＝5－，＝＋＝2－，所以·＝(5－)·(2－)＝11·－5||2－2||2＝－2，即11×2×1·cos∠BAC－5×12－2×22＝－2，解得cos∠BAC＝，因∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝；设＝λ(0≤λ≤1)，所以＝＋＝＋λ＝＋λ(－) ＝＋5λ－2λ＝(1－2λ)＋5λ ，＝＋＝＋(1－λ)，＝4＋(1－λ)(－)＝2(1－λ)＋(5λ－1)，所以·＝[(1－2λ)＋5λ] ·[2(1－λ)＋(5λ－1)]＝(4λ2－6λ＋2)||2＋ (25λ2－5λ)||2＋[(1－2λ)(5λ－1)＋5λ·2(1－λ)]·＝21λ2－12λ＋7＝21＋，当λ＝时，·的最小值为. 14．(6分)(多选)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．a*b＝b*a B．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R) C．(a＋b)*c＝a*c＋b*c D．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1 答案：AD 解析：当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．综上，结论正确的是AD． 15．(5分)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________． 答案： 解析：因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝，又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉，所以|c|＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉≤，故|c|的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $