8.1.2 向量数量积的运算律(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.1.2　向量数量积的运算律 1.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且（a－2b）⊥a，则｜a－b｜＝（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝（　　） A.－ B.－ C. D. 3.已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状为（　　） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.〔多选〕设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是（　　） A.a·c－b·c＝（a－b）·c B.（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 6.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　） A.4 B.10 C.4或10 D.2或 7.如图，在▱ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，则·＝　　　　. 8.已知向量a，b，其中｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则向量a和b的夹角是　　　　，a·（a＋b）＝　　　　. 9.已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则｜｜＝　　　. 10.已知｜a｜＝2，｜b｜＝，（a－b）·（2a＋b）＝2. （1）求｜a＋b｜； （2）求向量a与a＋b的夹角. 11.向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（　　） A.－ B.－ C. D. 12.〔多选〕已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则（　　） A.｜a｜＜｜2b｜ B.｜a｜＞｜2b｜ C.｜b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜a－b｜ 13.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝EB，2BF＝FC. （1）用向量方法求证：CE⊥AF； （2）求cos∠AFC. 14.〔多选〕已知O为坐标原点，△ABC的三个顶点都在单位圆上，且3＋4＋5＝0，则（　　） A.cos＜，＞＝ B.⊥ C.△ABC为锐角三角形 D.在上的投影的数量为－ 15.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点E，F在BC边上且＝λ，＝μ. （1）若λ＝，用，表示，并求线段AE的长； （2）若λ＝，μ＝，求cos∠EAF的值； （3）若·＝4，求＋的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　向量数量积的运算律 1.B　依题意，由（a－2b）⊥a，得（a－2b）·a＝a2－2a·b＝0，则a·b＝a2＝2，所以｜a－b｜＝＝＝4. 2.C　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝·（－）＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝. 3.A　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜b｜·cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2. 4.B　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是｜＋｜＝｜－｜，所以｜＋｜2＝｜－｜2，即·＝0，从而AB⊥AC.故△ABC为直角三角形. 5.ACD　根据向量数量积的分配律知A正确；因为[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜2，D正确；故选A、C、D. 6.C　因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两个向量的夹角为0或.再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10. ②若任意两个向量的夹角为，则a·b＝2×2×cos ＝－2，a·c＝b·c＝2×6×cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝＝＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10. 7.－7　解析：因为＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7. 8.　6　解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜·cos θ＝3＋2×＝6. 9.2　解析：因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，所以｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×（3－2×2××cos＋4）＝4，则｜｜＝2. 10.解：（1）因为｜a｜＝2，｜b｜＝， 所以（a－b）·（2a＋b）＝2a2－a·b－b2＝8－a·b－7＝1－a·b＝2， 解得a·b＝－1. 所以｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×（－1）＋7＝9， 所以｜a＋b｜＝3. （2）a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3. 设向量a与a＋b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝. 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. 11.D　因为｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，所以－c＝a＋b，所以c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0，又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b，（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4，｜a－c｜＝＝＝，｜b－c｜＝＝＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝＝＝. 12.AC　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2，化简得｜a｜＝2｜b｜cos θ.因为向量a，b不共线，所以cos θ∈（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误. 13.解：（1）证明：因为AE＝EB，所以＝＋＝－＋. 又因为2BF＝FC，所以＝＋＝＋（－）＝＋. 因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，所以·＝0， 所以·＝（ －＋）·（ ＋）＝－－·＋＝0， 即·＝0，得证. （2）由题意·＝（ －－）·（ －）＝－－·＋＝， ｜｜＝｜－－｜ ＝ ＝ ＝， 由勾股定理可得｜｜＝BC＝＝， 所以cos∠AFC＝ ＝＝. 14.BCD　由于△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴｜｜＝｜｜＝｜｜＝1.由3＋4＋5＝0，可得（3＋4）2＝（－5）2，化为9＋16＋24·＝25，∴9＋16＋24·＝25，∴·＝0，∴⊥，故△OAB是等腰直角三角形，B正确；由3＋4＋5＝0，可得5＝－3－4，5·＝－3－4·＝－3，∴·＝－，故cos＜，＞＝＝－，A错误；由5＝－3－4得＝－－，∴·＝（－）·（－）＝（－）·（ －－）＝－＋＝＞0，·＝（－）·（－）＝（－）·（ －－）＝－＝＞0，·＝（－）·（－）＝（ ＋）·（ ＋）＝＋＝＞0，因此A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，C正确；∵5·＝（－3－4）·（－）＝3－4＝－1，∴·＝－，∴在上的投影的数量为＝＝－，D正确.故选B、C、D. 15.解：（1）在△ABC中，令＝a，＝b，则＝＋＝a＋（b－a）＝a＋b＝＋. ｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b ＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－1， 所以｜｜＝ ＝ ＝＝. （2）由＝，＝， 得＝a＋b，＝a＋b， 因此·＝（a＋b）·（a＋2b）＝（a2＋2b2＋3a·b）＝. 又｜｜＝ ＝＝， ｜｜＝ ＝＝， cos∠EAF＝＝. （3）＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ＝（1－λ）a＋λb， ＝＋＝＋μ＝＋μ（－）＝（1－μ）＋μ＝（1－μ）a＋μb， 则·＝[（1－λ）a＋λb]·[（1－μ）a＋μb]＝4， 即（1－λ）（1－μ）a2＋[（1－λ）μ＋λ（1－μ）]a·b＋λμb2＝4， 4（1－λ）（1－μ）－[（1－λ）μ＋λ（1－μ）]＋λμ＝4，化简得7λμ＝5λ＋5μ， 所以＋＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $