8.1.1 向量数量积的概念 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.如图，向量与的夹角为180°－60°＝120°. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．－6 B．6 C．6 D．－6 解析：选D.a·b＝3×4×cos ＝3×4×(－)＝－6. 3．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选A.观察题图知，|a|＝2，|b|＝2，〈a，b〉＝，所以a·b＝2×2×＝－4. 4．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影为(　　) A．e B．－e C．e D．－e 解析：选D.由题意知，a在b上的投影为|a|cos 120°·e＝2×(－)e＝－e. 5．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：选C.因为a·e＝|a||e|cos 〈a，e〉＝3>0， 所以cos 〈a，e〉∈(0，1]， 所以|a|＝＝≥3， 故|a|的取值范围为[3，＋∞).故选C. 6．(多选)(2025·辽阳期末)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．与共线的单位向量为± B．若△ABC是等边三角形，则向量在向量上的投影为 C．若·<0，则△ABC为钝角三角形 D．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 解析：选AC.对于A，与共线的单位向量为±，故A正确；对于B，因为△ABC为等边三角形，所以在上的投影为||cos A＝，故B错误；对于C，·＝||||·cos A<0，所以cos A<0，又0°<A<180°，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故D错误． 7．在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝________． 解析：由题得＝＝，||＝1，所以·＝||||cos (180°－60°)＝3×1×(－)＝－. 答案：－ 8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影的数量为________． 解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos θ＝3×＝. 答案： 9．在正方形ABCD中，·＝25，则正方形ABCD的边长为________． 解析：在正方形ABCD中，〈，〉＝45°. 设||＝a(a>0)， 则·＝||||cos 〈，〉＝||2＝a2＝25，解得a＝5. 所以正方形ABCD的边长为5. 答案：5 10．(13分)已知|a|＝3，|b|＝2，sin 〈a，b〉＝，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b；(6分) (2)求a在b上的投影．(7分) 解：(1)因为sin 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以cos 〈a，b〉＝±，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×2×＝±3. (2)a在b上的投影为|a|cos 〈a，b〉e＝±e. 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：选A.cos θ＝＝＝－， 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝. 所以|a×b|＝2×5×＝8.故选A. 12．(多选)(2025·威海月考)设向量a在向量b上的投影为m，则下列等式一定成立的是(　　) A．m＝()b B．m＝()b C．m·b＝a·b D．m·a＝b·a 解析：选BC.记向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影m＝()＝b，A错误，B正确；所以m·b＝b·b＝·|b|2＝a·b，故C正确；m·a＝·b·a＝＝|a|2cos2θ，故D错误．故选BC. 13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a，b的夹角为________． 解析：由题意得a，b不共线， 设＝a，＝b， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b. 由|a|＝|b|＝|a＋b|可知，△OAC为等边三角形，△OCB也为等边三角形，故〈a，b〉＝. 答案： 14．(13分)在△ABC中，||＝||＝4，·＝8.判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC为正三角形，理由如下： 因为||＝||＝4，·＝8， 所以cos〈，〉＝＝＝， 又〈，〉∈(0，π)， 所以〈，〉＝， 即∠BAC＝， 又||＝||， 所以∠ACB＝∠CBA＝， 故△ABC为正三角形． 15．(13分)如图，扇形AOB中的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量；(5分) (2)求·的取值范围．(8分) 解：(1)连接BM，AM(图略). 由已知可得＝，四边形OAMB是菱形， 则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $