学业评价(十四-十五) 向量数量积的概念 向量数量积的运算律-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册课后案·学业评价（人教B版2019）

。数学·必修第三册（配RJB版） 学业评价（十四） 向量数量积的概念 [必备知识·基础巩固] 10.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为0， 则下列结论正确的有 1.已知b=3a在b上的投影的数量为号，则a·b= A.e1在e上的投影为cos0 B.e1·e2=1 C.ej-e A.3 号 C.2 D D.(e十e2)⊥(e-ez) 2.已知a=3,b=4,且a与b的夹角0=150°，则 11.如图所示，在Rt△ABC中，∠A= a·b等于 ( 90°，AB=1,则A店·BC的值 A.-6 B.6 C.-65 D.63 邻 12.在边长为3的等边三角形ABC 3.已知a=9,|b=6√2，a·b=-54.则a与b的 中，点D在BC上，且CD=2DB,则AB·CD 夹角为 () ,A第·Bd= A.45 B.135 C.120 D.150° 13.已知在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,若 4.如图所示，AB为圆O的一条弦， 且A1=4,则OA·A等于 lc=m,|b|=n,(b,c〉=0. ( (1)试用m,n,0表示S△c: A.4 B.-4 (2)若c…b0且5am=5.c=3,b1=5 C.8 D.-8 求c与b的夹角. 5.已知a=3,lb=5,且a·b=12,则向量a在向 量b上投影的数量为 6.若非零向量a·b=一a||b,则(a,b)等于 7.若|a=4,|b=2,a和b的夹角为30°，则a在b: 方向上的投影的数量为 8.在△ABC中，已知AB1=5,1BC1=4,AC1= 3,求： [学科素养·探索创新] (1)AB·BC:(2)AC在AB上的投影的数量； 14.已知a=2,|b=12,a·b=-12,则b在a上 (3)AB在BC上的投影的数量. 的投影为 A.-3 B.3 C.-3a D.3a 15.在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠ABC= 30°，D为BC的中点.(1)求BA在CD上投影的数 量：(2)求CD在BA上投影的数量. [关键能力·综合提升] 9.在四边形ABCD中，AB·BC=0,BC=AD,则四 边形ABCD是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 : 26 学业评价（十五） 向量数量积的运算律 (2)是否存在实数A,使(a十b)与(a一2b)共线？ [必备知识·基础巩固] 1.(2024·江苏南通高一期中)已知单位向量a,b的 夹角为行则1a一b1= A.1 B.√2 C.3 D.3 2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a=1, 1b=3,la-2b1=3,则a·b= (3)是否存在实数4，使(a十b)与(a一2b)垂直？ A.-2B.-1C.1 D.2 3.(2024·河南周口高一月考)设向量a,b的夹角的 余弦值为-寸a=2.b1=3,则(2a+30)·6 ( A.-23B.23 C.-27D.27 4.(2023·辽宁朝阳·高一期中)在△ABC中，若 AB=3,BC=4,AC=5,则BC·AC=( A.-16B.16 C.9 D.0 5.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为 号且a=1,b=3,则(2a+b)b= 6.(2024·江苏连云港高一期中)已知向量a与b的 夹角为60°，a=2,|b=3,则a-2b与a夹角的 [关键能力·综合提升] 余弦值是 7.(2024·天津东丽高一期中)已知a⊥b,a=2, 9.已知平行四边形ABCD满足|AB+AD= b=3,且3a+2b与a-b垂直，则λ= IAB-ADI.IABI=4,ADI=2.DM=3 MC, 8.已知a+b+c=0,|a=3,b=5,c=7. BP=PC,则AM·AP= () (1)求a与b的夹角0： A.6 B.10 C.14 D ! 10.(多选题)已知向量a,b,c是三个非零向量，下列 说法正确的有 () A.若|a-b|=a+b,则a与b共线且反向 B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.向量a,b,c是三个非零向量，若a·c=b·c, 则a=b D.若a十b=a-b,则a⊥b 11.如图所示，在△ABC中，已知AB=2,AC=5, ∠BAC=60°，BC,AC边上的两条中线AM,BN 相交于点P,则∠MPN的余弦值为 27 。数学·必修第三册（配RJB版）》 12.已知向量a,b满足a=1,b1=3,a,b的夹角 [学科素养·探索创新] 为150°，则(2a+b)与a的夹角为 13.在四边形ABCD中，已知AB=9,BC=6,CP 14.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢 2 PD 房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六 (1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值： 角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三 个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟 的蜂蜜.如图所示是一个蜂巢的正六边形开口 ABCDEF,下列说法正确的是 A.AC-AE=BE BA迹+A花-A市 C.A.AB=C第.CD D.AD在AB上的投影向量为A方 15.已知非零向量AB,A心和BC满足 (2)若四边形ABCD是平行四边形，且A户，BP= (需+惑)成-，且惑既-号 ACIBCI 2' 6,求AB与AD夹角0的余弦值. 试判断△ABC的形状. 28@ ◆=0且x[肾]，则面数)在[晋周上单消 -<(2r-)1. 递减，在（侣，]上单调递增，C错送： 是≤3n(2x-吾)<3，即f)的取值花周 对于D:f(登)=cos(2×音-若)=os0=1为最大值， 为[-] 故直线7=是是了(x)图象的一条对称轴，D正确，故 答案 [ 速ABD. 14.解析 画出f(.x)在一个周期[0,2x]上的图象. 10.BC由图知A=3,函数(x)的最小正周期 y T=4(货-晋），所以w-经-之 所以x)=3c@s(分r十).周为点（爱，3）在x)的国 0 /2m 象上，所以300s(吾十9）=3，所以石+9=2kx(k∈Z, 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2x,在x=π十2kπ 即g=-吾+2x∈，国为g<受，所以g=一吾 (k∈Z)和x= π十2kx(k∈)时，该函数都取得最小值 3 所以)=30（侵一吾）故A错误：令-x+2km≤ 一1，故①©错误，由图象知，画数国象关于直线=号 合-吾<2kx∈D,得x-晋<≤4+晋 +2m(质∈)对称，在2x<x<+2r(∈Z)时，0< D,即代r的单调造增区同为[x-警，4x+]∈ <号故③0运确： D,周为(3，)c[x一警k十音]∈，所以 答案③④ 15.解析(1)f(x)的最小正周期为π， B正确：令3cms(合-吾)>，则cos(是r-吾）> 6%=3. ，所以2-吾<-晋<2+（∈0，解得 ②调为e[吾引， 钻一吾<<x十x∈Z,所以f)>是的解条为 所以2+音[-0 6 (4x一吾4kx十x)k∈Z,放C正确：令 k 所以当2x+晋=0， (k∈ZD,解得x=2k元十于(k∈Z),所以f(x)的图象的对 即=一 时，r)取得藏大值0： 称轴方程为x=2kx十子（∈D,故D错误。 当2+晋- 11.解析使函数有意义的实数x应满足条件 即=一晋时，)取得最小值一3。 1-原m>0aamK号 16,解析（1)fr)=2sim(2x-)+a. 当r(一受，受)时，一受<<晋，故所求通载的定又 f(x)的最小正周期T=元 城为(km-受kx十吾)h∈ZD. (2)当2kx-晋<2x-吾≤2kx+受（∈， 答案(kx-受x+晋)∈Z 即k一 <<k+受∈)时，画数)单洞递增， 6 2据折尚后单释-年释合。 故所求区间为[k红一吾+]∈D, 又-誓-(）-2则w-= (3)当xe[0,受]时， 将（皆2）代入原式，解得g=- -吾∈[晋] .当x=0时，f(x)取得最小值， 答案4x一君 即2sin（-吾）+a=-2a=-1 13.解析：f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同， f(r)与g(x)的最小正周期相等. 学业评价（十四） 向量数量积的概念 m>0,w=2, 1.B设a与b的夹角为0. u)=3sim(2r-晋）小0≤≤2 国为lcos0=是，1=3 -吾<2-< 所以ab=0=3X是-号 52 2.Ca·b=allblcos150°=-63. =-A·成.A ah=二51=-2 BCI 3.B cos (a,b)-labl54 2 =-AB=-1. 又(a,b》∈[0，π]， 解法二BA=1,即BA为单位向量， ∴.〈a,b)=135 Ai.BC=-BA·BC=-BABC1cos∠ABC, 4.D设AB的中点为M,连接OM(图略)，则OM⊥AB,O才 而BC·cos∠ABC=BA, ·AB=2AM.Oi=21AM·Oi·cos(x-∠OAB) 所以AB.BC=-BA'=一1. =-2×2·1A01·cos∠OAB=-4AM=-8. 答案一1 5.解析设a与b的夹角为0， 12.解析：CD=2D成，∴点D为BC 因为a·b=|albicos0=12, 上靠近点B的三等分点，如图所示 又b1=5,所以alcos0=12, 51 ∴C市=号C=2,D= 即a在b上授影的兼量为号 号1BC1=1,又(A成，C》=(成， B 答案号 CB)=-60, 6.解析cos(a,b)=一1 (A,Bd)=(AB武)=120，.Ai,Ci=A1Ci .(a,b)=r c0s60°=3×2×号=3. 答案开 7.解析a在b方向上的投影的数量为a·cs〈a,b> A店.Bd=1AB11Bi1cos120°=3×1×（-号）= 4Xc0530°=23. 3 答案23 2 8.解析1AB1=5,BC=4,AC1=3. ,△ABC为直角三角形，且C=90 答案3一号 oasA-福-号msB-%- 13.解析 1 (1)SAANC ABI= (1)AB.B式--Bi·BC 合Ai·din∠BAC= =-5×4×号=-16 (2A0·osA花，Ai-花.A店 2 mnsin 0. 1AB南 (2)像题意日=号×3×5sn0.e 1 六sin(b,c)=2,又cbK0,且c,b不共线， 5 5 知b,c)为纯角，.(b,c=150°. (3)1A店·s不店，心-心.A店 BCI 14.C cos (.)=ah .-12 B a1b2×12 -B励.B ,又(a,b∈[0，x](a,b=2 1 3 =一4 2可 BC 4 如图所示，O对=a.Oi=b,过B作 9.C:在四边形ABCD中.BC=AD BB'⊥OA, .BC∥AD且BC=AD, 垂足为B,则b在a上的投影为OB, ∴四边形ABCD为平行四边形，又AB.BC=O, ,b=12, AB⊥BC,.四边形ABCD为矩形 10.CDe1在e上的投影是一个向量，故A不正确. 0那1=12Xcos吾=6，又a=2, e·e2=e,Ile·cos(e,e)=cos0,故B不正确 .0B=-3a. ei=e1F=1,=e|=1,故C正确. 15.解析如图，连接AD. 如图所示，设AB=e,AD=e2 因为D为BC的中点， 所以AD⊥BC, 又因为AB=2,∠ABC=30°， e 所以CD=BD=AB·cos30°=√3. 作平行四边形ABCD,则平行四边形ABCD为菱形. 由图可知BA与CD的夹角为∠ABC的补角， 则AC=e,+e,Di=e,-e 所以向量BA与CD的夹角为150 ACLDB.∴(e,+e)L(e-e),故D正确. 因此(1)BA在CD上的投影的数量为 11.解析解法一AB· 1BA1cos150°=2×cos150°=-√5. =AB·BC·cos(180°-∠B) 2)CD在BA上的投影的数量为 =-AB·BC1·cos∠B ICplcos 150-Scos 150 53 @ (3)假若存在，使(0+b)⊥(a一2b), 学业评价（十五）向量数量积的运算律 ∴.(a+b)·(a-2b)=0. .c由已知有1a=b=1,ab=经=-号 .m3-2b-2a·b+a·b=0, 9n-2x25-3×号+号-0g=-8 故a-bi=√(a-b=√a+b-2a·b=√/1+1+I=5. 2.C由题设，a-2b=3,得al-4a·b+4b=9,代入|a 六存在=得伏释a十)与a一20)套直 =1,1b=3,有4a·b=4,故a·b=1.选择C. 9.C由于Ai+AD1=AB-AD, 3B设a与b的夹角为0，则c0s0=-号 两边平方并化简得AB·AD=0,所以A店⊥AD, 所以AM·A户=(AD+DM)·(A店+B驴) 又a=2,1b=3,所以a·b=|a|b|cos0=2×3× (-3）=-2 =(市+)·(+C)） 所以(2a+3b)·b=2a·b十36=-4+27=23. -(市+A·(+Aò) 4.B由AB=3,BC=4,AC=5, 则AB+BC=AC,所以ABLBC, =A亦+A亦=号×4+子×16=14， 所以BC.AC=B武，(Ai+B武)=B元.AB+B式=B心 10.ABD对于A选项，由|a-b=|a+b|可得 =16. |a-bl°=(|a+|bl)°， 即a°-2a·b+b=a|2+2|a·|bl+1b12, 5.解析设a与b的夹角为9，因为a与b的夹角的余弦值 即a·b=-|a·|b|, 为日，即ms0=子 a·b 国为a,b都是非零向量，则cosa,b》=Ta·b=一1： 又a=1.b=3所以ab=a·bls0=1x3x号=1. 图为0≤(a,b)≤π，则(a,b)=r,即a与b共线且反向，A 正确： 所以(2a+b)·b=2·b+b=2a·b+b2=2×1+3=11. : 对于B选项，因为a,b,c是三个非零向量，且a∥b,b∥c, 答案11 则存在非零实数入，aER,使得b=a,c=:b,则c=红b 6.解析|a-2b|=√(a-2b)=√a-4a·b+4b= ua,故c∥a,B正确： 对于C选项，向量a,b,c是三个非零向量， √4+36-4×2×3×7=27. 若a·c=b·c,则a·c-b·c=(a-b)·c=0,所以a= (a2)id-ta-261al a2-2a·b b或(a一b)⊥c,C错误： 所以cos(a-2b,a〉= la-2bal 对于D选项，因为|a十b|=|a-b川， 2-2×2×3×2 则|a+b=|a-bl. 所以a十2a·b+b=a2-2a·b十b2. 2√7×2 141 整理可得a·b=0, 答案日 因为a,b都是非零向量，所以a⊥b,D正确. 11.解析在△ABC中，令AB=a,AC=b, 7.解析由题设知a·b=0且(3a+2b)·(a一b)=0, 则a,b)=60,a·b=aa,b=2X5×号-5 3a-26=0,又a=2.b=3a=号 因为BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则 答案 Ai=a+b.B丽=b-a… 8.解析(1)，a十b十c=0, 于是A=合V后+b+2a·b ∴.a+b=-c,.la+b=cl. ∴.(a十b)2=e,即a2+2a·b+b=c2, =号2+写+2x5=, 2 a…b=c-a-b 2 1B=是V6+a-4a·b =c2-al3-1b2_49-9-25_15 2 2 2 =名6+4x2-4X5-四， 2 又a·b=la·blcosa, 9-3X5×os0ims0=合0=60 M)(b-2a) (2)假若存在A,使(a+b)∥(a-2b), =(-a。-2d+8)=(-5-2X2+5)=3 .存在实数k使得aa十b=(a-2b)=a-2b. 所以cos∠MPV=cos(A立，B成)= AM·BN IAMIBNI 1=-2k. 3 4√I 存在A=-名使得a+)∥a-2b… 91 2 即存在X=一之使得0a十b)与（a一2b)共线. 答案4√回 91 54 12.解析因为a=1,b=√5，a与b的夹角为150°， 故A1=3Ei.Ei=31D1. 所以ab=a1bcms150=-2, 即A方1=31D庐1， 所以1AD1=Ai1+Di=3D方1+1Di1=4Di1, 所以|2a+b2=(2a+b)=4a2+b+4a·b 4|a2+1b12+4a·b=1, 又21A商=61D.就2-号，故花+衣 得12a+b1=1,又a·(2a+b)=2a+a…b-2: 1 1A市2 含市，故B正确：对于C:设正六边形ABCDEF的边长 所以msa:2a+b)-8-立 为a,则亦.成=co经=-2 又(a,2a+b)∈[0,180]，所以(a,2a+b)=60° 答案60 cB.cb-IcB Icblcos 13.解析(1)图为四边形ABCD是矩形 所以A正.AB=C·CD,故C正确， 所以AD·DC=0, 对于D:易知∠ABD=受，则A市在A店上的授影向量为 C市-2Pi,得D币-号D心， A官，故D正确，故选BCD. -号市-号成 AB AC 15.解析： 分别表示与AB,AC同向的单住 所以A市.B驴-(AD+D)·(BC+C市) IABI IACI 向量 =(市+号心)·（市-号元） AB AC 以 为邻边的平行四边形为菱形 =市-}市.成-号心 IABI IACI 心表示向量 AC =36-号×81=18， 的有向线段在∠A平分线上 Aa花 (2)由题意，A市=A市+D=AD+号D式 AB AC =AD+}A花， :(成d .BC=0 知∠A的平分线垂直于BC,∴△ABC为等腰三角形. AC·BC 驴=C+C币=C+号C市=AD-兰A, AC·BC cos C2 2 所以A市.前=(A市+号A)·(A市-子A) ∠C=是，从而可知∠A=受 =亦-号A成：A市-号成 所以△ABC为等腰直角三角形. 学业评价（十六）向量数量积的坐标运算 -36-A店.市-18 1.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b一4a)=0, =18-号亦.应 所以b-4a·b=0即4+x2一4x=0,故x=2,故选D. 2.C由已知有c=(3+t,4),cos(a,c)=cos〈b,c》,故 又市.励=6，所以18-号.市=6 9- c·5 所以A店.AD=36. 解得t=5.故选C. 又AB.AD=|AB·AD1cos0 A说e-期8：中产2. =9×6×c050=54c0s0. 解得x=1,y=1, 所以54c0s0=36,即c0s0=号 3 即c=(11),所以c=√/个+1下=2. 4.ABC对于A,若a与b垂直，则a·b=-1-2m=0,解得 所以与市夹角的余孩准为号 m=一之，故A正确： 14.BCD连接AE,AC,AD,BF,BD,CE,且CE与AD交于 对于B,若a∥b,则m一（一2）×（一1）=0，解得m=2,此时 点H,如图所示， a·b=一1一2m=一5，故B正确： 对于C,若m=2,则a一b=(2,一4)， a一b=√/4+16=2√5，故C正确： 对于D,若m=-2,则a·b=-1-2m=3, 注意此时a=|b=√1+4=5， a与6的夫角的余孩位为。：。-音≠号批D维头 对于A:AC-A正=AC+Ei=E武，显然由图可得E式与 5.解析由a1b:得m十3m+3=0,解得m=-是 BF为相反向量，故A错误： 答案 对于B:由图易得AEI=AC,直线AD平分角∠EAC 一 且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有A心+A正 :6.解析因为a=(1,1),b=(0,一2). =2A直，A直与AD共线且同方向， 所以知-b=(k,k十2)，a+b=(1.-1), 所以ka一b=√R十(k+2)尸， 易知△EDH,△AEH均为含F角的直角三角形， 1a+b=√1+(-1)=√2， 55