8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 8.1.2　向量数量积的运算律 基础过关练 题组一　向量的数量积 1.(2024山东淄博实验中学诊断)已知平面向量a,b的夹角为,|a|=3,|b|=2,则(a+b)·(a-2b)的值为(　　) A.-2　　　　B.1-3　　　　C.4　　　　D.3+1 2.已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是　　　　.(填序号)  ①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb);③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c). 题组二　向量的投影 3.(2025辽宁朝阳期末)已知|a|=5,|b|=3,且向量a在向量b上的投影的数量为-2,则|a+b|=　(　　) A.　　　　B.3　　　　C.2　　　　D. 4.(2025辽宁辽阳期中)若向量a,b满足|a|=|b|=3,且|a-b|=,则向量a在向量b上的投影向量是(　　) A.b　　　　B.b　　　　C.b　　　　D.b 5.已知非零向量a,b,若a在b上的投影的数量为3,|b|=2,则a·b=　　　　.  题组三　向量的模和夹角 6.(2024山东省名校联盟开学考试)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+2b|=|a|,则a与b的夹角为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 7.(2024上海复旦大学附属中学期末)设a,b是单位向量,且a·b=,向量c满足(c-a)·(c-2b)=,则|c|的取值范围是　　　　.  8. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若·=-3,则cos∠DAB=　　　　.  9.(2025浙江宁波期中)已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,求: (1)|2a-b|; (2)a与a+b的夹角. 题组四　向量垂直 10.已知△ABC中,=·+·+·,则△ABC是(　　) A.等边三角形　　　　 B.锐角三角形 C.直角三角形 　　　　D.钝角三角形 11.(多选题)(2023浙北G2联盟期中)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　) A.a⊥b　　　　B.|a-b|= C.|2b-a|=5　　　　D.(a+b)⊥(a-b) 12.(2024浙江宁波镇海中学期末)设e1,e2为两个单位向量,且<e1,e2>=,若e1+λe2与3e1+4e2垂直,则λ=　　　　.  能力提升练 题组一　向量的模和夹角 1.(多选题)(2025山东德州期中)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则(　　) A.<e1,e2>=　　　　B.a⊥(e1-e2) C.a=(e1+e2)　　　　D.|a|= 2.(多选题)(2025江苏徐州期末)关于平面非零向量a,b,c,向量a,b的夹角为θ,下列说法中正确的是(　　) A.向量(a·b)c-(a·c)b与a垂直 B.a在b上的投影向量为|a|cos θ· C.若a·b<0,则a与b的夹角为钝角 D.|a·b|=|a||b|⇔a∥b 3.(2024重庆万州一中月考)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足=2,若AB=AC=6,·=6,则||=(　　) A.　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.11 4.(2024辽宁沈阳二中月考)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos<a-b,c>=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.已知向量a,b满足|a-b|=3,|a|=2|b|,设a-b与a+b的夹角为θ,则cos θ的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 题组二　向量的数量积及其应用 6.(2024湖北十一校期末联考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,P为半圆弧上的动点(含端点),则·的取值范围为(　　) A.[2,6]　　　　B.[2,3]　　　　C.[4,6]　　　　D.[4,8] 7.(2025辽宁大连期末)如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=+λ,若||=3,||=4,则·的值为　　　　.  8.(2025辽宁沈阳期中)如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°. (1)求||; (2)已知点D是AB上一点,满足=λ,点E是CB上一点,满足=λ. ①当λ=时,求·; ②是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 8.1.2　向量数量积的运算律 基础过关练 1.C 3.A 4.D 6.C 10.C 11.ABD 1.C　a·b=|a||b|cos=3×2×=-3,∴(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=32-(-3)-2×22=4. 2.答案　①②③ 解析　显然①②③正确;令m=a·b,n=b·c,则(a·b)c=mc,a(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立,故④错误. 3.A　由题意得|a|cos<a,b>==-2,则a·b=-2|b|=-6, 所以|a+b|===. 4.D　由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=6, 则32-2a·b+32=6,得a·b=6, 所以向量a在向量b上的投影向量是·=·=b. 5.答案　6 解析　由题意可得|a|cos<a,b>=3, 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=6. 6.C　因为|a+2b|=|a|,所以|a+2b|2=3|a|2,即a2+4a·b+4b2=3a2,又|a|=|b|,故a·b=-a2, 则cos<a,b>===-, 又<a,b>∈[0,π],故<a,b>=. 7.答案　 解析　由(c-a)·(c-2b)=,得c2-(a+2b)·c+2a·b=. 因为单位向量a,b满足a·b=, 所以|a+2b|==, c2+=(a+2b)·c≤|a+2b||c|=|c|,当且仅当a+2b与c同向共线时取等号, 因此c2-|c|+≤0,解得-1≤|c|≤+1. 所以|c|的取值范围是. 8.答案　 解析　∵=,∴=, ∴=+=-+. 又=+=+, ∴·=· =-·- =×32-×4×3×cos∠DAB-×42=-3, ∴cos∠DAB=. 9.解析　(1)因为|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°, 所以a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4, 所以(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-4a·b+|b|2=64+16+4=84, 所以|2a-b|===2. (2)因为a·(a+b)=a2+a·b=|a|2-4=16-4=12, |a+b|======2, 所以cos<a,a+b>===, 因为0≤<a,a+b>≤π,所以a与a+b的夹角为30°. 10.C　易知-·=·+·, ∴·(-)=·(-), 即·=·,∴·+·=0, ∴·(+)=0,即·=0,即⊥, ∴△ABC是直角三角形. 11.ABD　因为|a|=|b|=1,且|b-2a|=,所以(b-2a)2=5,即b2+4a2-4b·a=|b|2+4|a|2-4b·a=5,所以b·a=0,则a⊥b,故A正确; |a-b|==,故B正确; |2b-a|==,故C错误; (a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故D正确. 12.答案　- 解析　因为e1,e2为两个单位向量,且<e1,e2>=,所以|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos=-, 又e1+λe2与3e1+4e2垂直,故(e1+λe2)·(3e1+4e2)=0,即3+(4+3λ)e1·e2+4λ=0,即3+(4+3λ)×+4λ=0,解得λ=-. 能力提升练 1.BCD 2.ABD 3.A 4.B 5.B 6.C 1.BCD　由题意得e1·e2=|e1||e2|cos<e1,e2>=cos<e1,e2>=,又<e1,e2>∈[0,π],所以<e1,e2>=,故A错误; 因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确; 设a=me1+ne2,则 解得m=n=,所以a=(e1+e2),故C正确; 因为|e1+e2|===,所以|a|=|e1+e2|=,故D正确. 2.ABD　对于A,[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0,故A正确; 对于B,a在b上的投影向量为=|a|cos θ,故B正确; 对于C,当<a,b>=π时,a·b<0,此时a与b的夹角不为钝角,故C错误; 对于D,|a·b|=|a||b||cos θ|=|a||b|⇔|cos θ|=1,可得θ=0或θ=π⇔a∥b,故D正确. 3.A　因为BD=2DA,所以=, 因为=2,所以E为CD的中点, 则=+=+=+(-) =+=+, 故||== ===. 4.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0, 所以|a-b|===, 由3a+4b+5c=0,得c=-a-b,则(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=,所以cos<a-b,c>===. 5.B　设b2=t,则a2=4b2=4t,所以|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,即2a·b=5t-9, 所以|a+b|===,所以cos θ====. 易知-2|a||b|≤2a·b≤2|a||b|,所以-4t≤5t-9≤4t,解得1≤t≤9. 令y=,显然y>0,整理得t2-10yt+9y=0, 所以Δ=100y2-36y≥0,所以y≥. 当y=时,t=∈[1,9],所以cos θ的最小值为. 6.C　易得·=||·(||cos∠PAB), 由投影的数量的定义知||cos∠PAB为在向量上的投影的数量. 结合题图得,当点P在弧的中点时,||cos∠PAB取得最大值,为3,此时·=||·(||cos∠PAB)=2×3=6; 当点P与点C或点B重合时,||cos∠PAB取得最小值,为2,此时·=||·(||cos∠PAB)=2×2=4. ∴·∈[4,6]. 7.答案　- 解析　在△ABC中,因为=2,所以=,=, 因为=+λ,所以=+λ, 因为P,C,D三点共线,所以+λ=1,解得λ=, 所以=+, 而=-=-, 所以·=· =-+·+ =-×42+×4×3×+×32=-+2+=-. 8.解析　(1)∵=-,且=4,=1,·=2×1×cos 60°=1,∴||=|-|===. (2)①当λ=时,=,=, ∴D,E分别是边AB,BC的中点, ∴=+=-+,=(+), ∴·=·(+) =--·+ =-×12-×2×1×cos 60°+×22=. ②存在.理由如下: 假设存在非零实数λ,使得⊥. 由=λ,得=λ(-), ∴=+=+λ(-)=λ+(1-λ). ∵=λ, ∴=+=(-)+λ(-)=(1-λ)-. ∴·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,解得λ=或λ=0(舍去). 故存在λ=,使得⊥. 31 学科网（北京）股份有限公司 $