第7章 章末综合检测(一)三角函数（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．－2 024°角的终边在(　　) A.第一象限　　　　　 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为－2 024°＝136°－6×360°，且136°角是第二象限角，所以－2 024°角的终边在第二象限．故选B. 2．已知cos (＋x)＝，则sin (－x)＝(　　) A.－ B． C. D．－ 解析：选A.sin (－x)＝sin [－(＋x)]＝－cos (＋x)＝－.故选A. 3．设函数f(x)＝2cos (x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A.4 B．2 C.1 D． 解析：选B.函数f(x)＝2cos (x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)是函数f(x)的最小值，f(x2)是函数f(x)的最大值，|x1－x2|的最小值即为函数f(x)的半个最小正周期，而函数f(x)＝2cos (x－)的最小正周期T＝＝4，因此|x1－x2|min＝＝2.故选B. 4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝(　　) A.sin (2x＋) B．2sin (2x＋) C.sin (4x＋) D．2sin (4x＋) 解析：选D.由题意得，f(x)的图象的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为f(0)＝，所以sin φ＝，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin (4x＋).故选D. 5．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　) A. B． C.0 D．－ 解析：选B.将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝sin 的图象，因为该函数是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝. 6.如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(单位：m)与时间t(单位：s)之间满足关系式：d＝A sin (ωt＋φ)＋k(A>0，ω>0)，－<φ<，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则下列选项错误的是(　　) A.k＝5 B．A＝10 C.ω＝ D．φ＝ 解析：选D.由题图可知d的最大值为15，最小值为－5，所以解得 所以A，B正确； 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15 s，即周期为15，所以＝15，得ω＝，所以C正确； 由题意，当t＝0时，d＝0， 即sin φ＝－，－<φ<， 所以φ＝－，所以D错误． 7．函数y＝10sin x与函数y＝x的图象的交点个数是(　　) A.3 B．6 C.7 D．9 解析：选C.y＝10sin x的最小正周期是2π，y＝10sin x∈[－10，10]， 当y＝x∈[－10，10]时，x∈[－10，10]，作出函数y＝10sin x和y＝x的图象，只要观察x∈[－10，10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选C. 8．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)，|f(－)|＝1，f()＝0，且f(x)在区间(，)上单调，则ω的最大值为(　　) A. B． C. D． 解析：选B.由题意知，－(－)＝(2k＋1)×(k∈N)，则T＝，k∈N， 因为T＝，ω>0， 所以ω＝，k∈N， 又因为f(x)在区间(，)上单调， 所以－≤，解得0<ω≤12， 则ω的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下说法中正确的是(　　) A.若角α是锐角，则2α是第二象限角 B.sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝1 C.在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D.若角α，β终边关于y轴对称，则α＝2kπ－β(k∈Z) 解析：选BC.对于A，因为0<α<，则0<2α<π，故2α不一定是第二象限角，A错误； 对于B，sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin4α＋sin2α(1－sin2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1，故B正确； 对于C，在△ABC中，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故C正确； 对于D, 若角α，β终边关于y轴对称，则α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，故D错误． 10．已知θ∈，cos θ＝－，则下列结论正确的是　(　　) A.θ∈ B．sin θ－cos θ＝ C.tan θ＝－ D．＝－ 解析：选ABD.因为θ∈，cos θ＝－， 所以θ∈，所以sin θ>0， sin θ＝＝　＝， 则sin θ－cos θ＝－＝， tan θ＝＝＝－， 则＝＝－. 由上述解析，可知A，B，D项正确，C项错误．故选ABD. 11．已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　) A.函数f为奇函数 B.函数f(x)在上单调递增 C.若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为 D.函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数y＝－cos 3x的图象　 解析：选AC.由已知得3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 则φ＝－＋kπ(k∈Z)，又因为－<φ<， 所以φ＝－，故f(x)＝sin . 对于选项A，f＝sin ＝sin 3x， 所以f为奇函数，故A正确； 对于选项B，令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)， 则－＋≤x≤＋(k∈Z)，当k＝0时， f(x)在上单调递增，故B错误； 对于选项C，若|f(x1)－f(x2)|＝2， 则|x1－x2|的最小值为半个最小正周期， 即×＝，故C正确； 对于选项D，因为sin ＝sin (3x－π)＝－sin 3x，故D错误．故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P(－1，2)，若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cos (α－π)cos (＋β)＝________． 解析：已知角α的终边经过点P(－1，2)， 则sin α＝＝， cos α＝＝－. 若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则 sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α＝， 则cos (α－π)cos (＋β)＝(－cos α)×(－sin β)＝×(－)＝－. 答案：－ 13．将函数f(x)＝sin 2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则m的最小值为___________________________________________________． 解析：所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到y＝sin (2×x)＝sin x， 向左平移m(m>0)个单位， 得到函数g(x)＝sin (x＋)， 因为g(x)为偶函数，且m>0， 所以＝＋kπ，k∈N， 解得m＝π＋2kπ，k∈N， 故m的最小值为π. 答案：π 14．已知直线y＝a(常数a>0)与曲线y＝2|tan (3x－)|有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离为____________． 解析：根据直线y＝a与曲线y＝2的交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期， 且y＝2的最小正周期T＝， 所以点A与点C的距离为＝. 答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知角α以x轴的正半轴为始边，点P(，－1)为其终边上一点． (1)求sin α－2cos α的值；(6分) (2)求的值．(7分) 解：(1)因为角α的终边上有点P(，－1)， 所以sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以sin α－2cos α＝－－＝－. (2) ＝ ＝tan α＝－ ＝－. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝3sin (2x＋)＋1. (1)求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的取值集合；(7分) (2)用五点法画出f(x)在[－，]上的图象．(8分) 解：(1)因为－1≤sin (2x＋)≤1， 所以－3≤3sin (2x＋)≤3， 所以－2≤3sin (2x＋)＋1≤4， 则f(x)的最大值为4. 此时2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 解得x＝kπ＋(k∈Z). 故当f(x)取得最大值时，对应的x的取值集合为 {x|x＝kπ＋，k∈Z}． (2)由－≤x≤， 得≤2x＋≤.列表如下： x － 2x＋ π 2π f(x) 4 1 －2 1 函数f(x)在上的图象如图所示． 17．(本小题满分15分)设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．求： (1)f(x)的单调区间；(7分) (2)不等式－1≤f(x)≤的解集．(8分) 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即＝，因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan (2x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan . 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋＜x＜＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (2)由(1)知，f(x)＝tan . 由－1≤tan ≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤－＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为，k∈Z. 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(8分) (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋a＝0在区间[0，1]上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．(9分) 解：(1)由题图可知＝－＝，T＝1. 因为ω＞0，所以＝1，ω＝2π. 代入有cos ＝， 即cos ＝1， 所以φ＋＝2kπ(k∈Z)， 即φ＝2kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|≤，所以φ＝－， 所以f(x)＝cos . (2)由题意知变换后 g(x)＝cos ， 当x∈[0，1]时， 令t＝πx＋∈， 即h(t)＝cos t， 函数h(t)在上单调递减，此时h(π)≤h(t)≤h，即－≤h(t)≤1，函数h(t)在上单调递增，此时h(π)<h(t)≤h，即－＜h(t)≤－1，g(x)＋a＝0有两个不同实数解等价于－a＝h(t)有两个不同实数解． 所以当－a∈(－，－1]时符合题意，即实数a的取值范围为[1，). 19．(本小题满分17分)已知非常数函数f(x)的定义域为R，如果存在正数T，使得∀x∈R，都有f(x＋T)＝Tf(x)恒成立，则称函数f(x)具有性质T. (1)判断下列函数是否具有性质T？并说明理由；(8分) ①f1(x)＝2x－1；②f2(x)＝cos (2πx＋1). (2)若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)具有性质T，求ω的最小值．(9分) 解：(1)f1(x)不具有性质T，f2(x)具有性质T，理由如下： ①假设f1(x)具有性质T，即存在正数T，使得2(x＋T)－1＝T(2x－1)恒成立， 则(2T－2)x＝3T－1对∀x∈R恒成立，则此时无解，故假设不成立， 所以f1(x)不具有性质T. ②取T＝1>0，则f2(x＋1)＝cos [2π(x＋1)＋1]＝cos (2πx＋1)＝f2(x)， 即f2(x＋T)＝Tf2(x)对∀x∈R恒成立， 所以f2(x)具有性质T. (2)因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)具有性质T， 所以存在正数T，使得∀x∈R都有 sin [ω(x＋T)＋φ]＝T sin (ωx＋φ)恒成立， 令t＝ωx＋φ，则sin (t＋ωT)＝T sin t对∀t∈R恒成立，若T>1，取t＝， 则sin (＋ωT)＝T>1，矛盾， 若0<T<1，取t＝－ωT， 则sin ＝T sin (－ωT)， 即sin (－ωT)＝>1，矛盾，所以T＝1， 则当且仅当ω＝2kπ，k∈Z时，sin (t＋ω)＝sin t对∀t∈R恒成立， 因为ω>0，所以ω≥2π，所以ω的最小值为2π. 学科网（北京）股份有限公司 $