7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan x＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.因为x∈(－，0)，cos x＝， 所以sin x＝－＝－. 所以tan x＝＝－.故选B. 2．已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.因为P(1，3)为角α终边上一点，所以tan α＝＝3，所以＝＝＝1.故选C. 3．(2025·辽阳月考)已知＋＝－2，则角θ终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.＋＝＋＝＋＝－2，则cos θ＜0，sin θ＜0，故角θ终边所在的象限是第三象限． 4．已知A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．不等边的锐角三角形 C．直角三角形 D．正三角形 解析：选A.因为sin A＋cos A＝， 所以(sin A＋cos A)2＝sin 2A＋cos 2A＋2sin A·cos A＝1＋2sin A cos A＝， 所以sin A cos A＝－， 又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，cos A<0，所以A为钝角， 所以△ABC是钝角三角形．故选A. 5．设－<α<0，若＝，则sin α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选C.由已知得＝，故＝，因为－<α<0，所以sin α<0，故＝，解得cos α＝， 则sin α＝－＝－.故选C. 6．(多选)(2025·东营期中)已知＝3，－＜α＜，则下列关于α的表述正确的是(　　) A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝－ C．sin4α－cos4α＝ D．＝ 解析：选ACD.对于A，由＝3，得sin α＝2cos α，所以tan α＝2 ，故A正确；对于B，由sin α＝2cos α， sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，又－＜α＜，所以cosα＝，所以sin α＝，sin α－cos α＝≠－，故B不正确；对于C，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝()2－()2＝，故C正确；对于D，＝＝＝，故D正确． 7．若sin α＝，且tan α<0，则cos α＝________． 解析：因为sin α＝，tan α＝<0， 所以cos α<0， 所以cos α＝－＝－＝－. 答案：－ 8．若tan θ＝，则sin 2θ－sin θcos θ＝________． 解析：因为tan θ＝， 则sin 2θ－sin θcos θ ＝＝ ＝＝－. 答案：－ 9．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则tan α＝________． 解析：由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝， 解得sin αcos α＝－＜0，由α∈(0，π)， 得sin α＞0，cos α＜0， 则cos α－sin α＝－ ＝－＝－， 因为sin α＋cos α＝， 所以sin α＝，cos α＝－，则tan α＝－. 答案：－ 10．(13分)已知sin α＝，且α是第二象限角．求： (1)tan α的值；(6分) (2)的值．(7分) 解：(1)因为sin α＝，且α是第二象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. (2)＝ ＝＝＝. 11．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α，cos α，所以小正方形的边长为cos α－sin α， 所以(cos α－sin α)2＝， 即cos α－sin α＝，① 2sin αcos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋＝， 所以sin α＋cos α＝.② 由①②得cos α＝，sin α＝， 所以tan α＝＝＝.故选B. 12．(多选)已知tan θ＝－4，则下列结果正确的是(　　) A．sin 2θ＝ B．cos 2θ－sin 2θ＝－ C．3sin θcos θ＝－ D．cos 2θ＝ 解析：选ABC.sin 2 θ＝＝＝，故A正确；cos 2 θ－sin 2 θ＝＝＝－，故B正确；3sin θcos θ＝＝＝－，故C正确；cos2θ＝＝＝，故D错误．故选ABC. 13．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________． 解析：由已知可得，sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以()2＋()2＝＝1，整理可得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0； 当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝. 综上所述，tan α＝0或tan α＝. 答案：0或 14．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于点A(，)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ). (1)求f(θ)的表达式，并求f()的值；(6分) (2)若f(θ－)＝，θ∈(0，π)，求tan θ的值．(7分) 解：(1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A(，)， 则cos α＝，sin α＝，可知α＝，又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，所以f(θ)＝cos (θ＋α)＝cos (θ＋)，故f()＝cos (＋)＝cos ＝－. (2)由题得f(θ－)＝cos θ＝，θ∈(0，π)， 则sin θ＝＝， 所以tan θ＝＝2. 15．(15分)已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根． (1)求sin α＋cos α的值；(4分) (2)求m的值；(5分) (3)若0<α<π，求sin α－cos α的值．(6分) 解：(1)因为sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根，所以sin α＋cos α＝－. (2)由(1)得sin α＋cos α＝－，sin αcos α＝－，且Δ＝12－8(－m)≥0， 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝， 所以1－m＝，得m＝，满足Δ＝1＋8m≥0， 所以m＝. (3)由(2)可得sin α＋cos α＝－<0， sin αcos α＝－<0， 因为0<α<π，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α ＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $