第7章 阶段小测(一)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段小测(一) (时间：120分钟，满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．sin (－1 395°)cos 30°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由诱导公式得sin (－1 395°)cos 30°＝sin (－4×360°＋45°)cos 30°＝sin 45°cos 30°＝×＝. 2．若扇形OAB的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是(　　) A． B．π C． D． 解析：选C.设扇形OAB的半径为r，弧长为l， 则解得 3．已知角θ满足sin θ＜0，tan θ＜0，且＝sin ，则角是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选B.由sin θ＜0，tan θ＜0， 得出θ为第四象限角， 所以＋2kπ＜θ＜2π＋2kπ，k∈Z， 所以＋kπ＜＜π＋kπ，k∈Z， 则为第二象限角或第四象限角， 又因为＝sin ， 所以sin ＞0，则为第二象限角． 4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a－2)，且cos α＝，则实数a的值是(　　) A．－4或 B． C．－4 D．1 解析：选B.由三角函数的定义可得cos α＝＝＝，则a＞0，整理可得5a2＋16a－16＝0，因为a＞0，解得a＝. 5．已知sin (α＋π)＝－3cos α，则2sin2α－sinαcos α＋cos2α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由sin(α＋π)＝－3cos α得－sin α＝－3cos α， 则tan α＝3. 2sin2α－sinαcos α＋cos2α＝ ＝＝＝. 6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若＝5，则sinα＋cos α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为a sin α，a cos α，故S1＝a2，S2＝a2－4×a sin α·a cos α＝a2(1－2sin αcos α)，则＝＝5，所以sin αcos α＝，又α为锐角，则sin α＞0，cos α＞0，所以sin α＋cos α＝＝. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知sin 8°＝m，下列式子中成立的有(　　) A．cos (－8°)＝ B．cos 98°＝－m C．sin 172°＝－m D．tan 548°＝ 解析：选ABD.对于A，cos (－8°)＝cos 8°，＝＝cos8°，故cos (－8°)＝，故A成立；对于B，cos 98°＝cos (90°＋8°)＝－sin 8°＝－m，故B成立；对于C，sin 172°＝sin (180°－8°)＝sin 8°＝m，而m≠0，故sin 172°≠－m，故C不成立；对于D，tan 548°＝tan (360°＋188°)＝tan 8°＝＝，故D成立． 8．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (180°＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (180°＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 解析：选AC.因为sin (180°＋α)＝－sin α＝－， 所以sin α＝， 若α＋β＝90°，则β＝90°－α， 故sin β＝sin (90°－α)＝cos α＝±，故A满足； cos (180°＋β)＝－cos (90°－α)＝－sin α＝－，故B不满足； 若tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin2β＋cos2β＝1， 故sinβ＝±，故C满足，D不满足． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________． 解析：因为－570°＝－570×＝－ rad， 所以－＝－4π＋. 答案：－4π＋ 10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线x＋y＝0上，则＝________． 解析：sin(2π－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos (－α)＝sin α，sin2(α＋)＝cos2α，故原式＝＝－tan2α，由题意设点M(1，－1)在角α的终边上，故tanα＝＝－1，故原式＝－1. 答案：－1 11．如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P1(，).若线段OPn－1绕点O逆时针旋转得OPn(n≥2，n∈N)，则点P2 025的纵坐标为________． 解析：因为角α的终边与单位圆交于点P1(，)，所以sin α＝，cos α＝，设点P2 025为角β的终边与单位圆的交点，则β＝α＋2 024×，所以sin β＝sin (α＋2 024×)＝sin (α＋506π)＝sin α＝，所以点P2 025的纵坐标为. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)如图，这是一个扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)展台，AD＝4 m. (1)若∠COD＝，OA＝2 m，求该扇形环面展台的周长；(6分) (2)若该扇形环面展台的周长为14 m，布置该展台的平均费用为500元/m2，求布置该扇形环面展台的总费用．(7分) 解：(1)的长度l1＝ m，的长度l2＝4π m，所以扇形环面展台周长为l1＋l2＋4×2＝＋8(m). (2)设∠COD＝θ，OA＝r m，则的长度l1＝θr，的长度l2＝θ(r＋4)＝θr＋4θ，因为该扇形环面的周长为14 m，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整理得θr＋2θ＝3，则该扇形环面展台的面积S＝θ(r＋4)2－θr2＝4θr＋8θ＝4(θr＋2θ)＝12(m2)，所以布置该扇形环面展台的总费用为12×500＝6 000(元). 13．(本小题满分15分)已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝且α为第二象限角． (1)求m的值；(6分) (2)若tan β＝，求 的值．(9分) 解：(1)由三角函数定义可知sin α＝＝，解得m＝±1. 因为α为第二象限角，所以m＝－1. (2)由(1)知tan α＝－2，又tan β＝， 所以 ＝－ ＝－ ＝－＝. 14．(本小题满分15分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于点P，过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点P1(x0，0)与P2(0，y0). (1)若α＝，求点P的坐标；(3分) (2)若△OP1P2的面积为2，求tan α的值；(6分) (3)求x＋9y的最小值．(6分) 解：(1)由题意得P(cos α，sin α)， 所以P(cos ，sin )，即P(，). (2)由题意得α为锐角，故P在第一象限，则P1，P2分别在x，y轴正半轴上，由题意可知OP⊥P1P2，所以cos α＝，得x0＝，又∠OP2P＝α，所以sin α＝，得y0＝，由△OP1P2的面积为2，得x0y0＝·· ＝2，所以sin αcos α＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，所以＝＝，所以tan2α－4tanα＋1＝0，解得tan α＝2±. (3)由题意α是锐角，则x0＞0，y0＞0，所以x＋9y＝＋＝(＋)(sin2α＋cos2α) ＝10＋＋≥ 10＋2＝16， 当且仅当＝， 即sinα＝，cos α＝，α＝时取等号， 所以x＋9y的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $