7.2.4 第1课时 诱导公式①，②，③，④ 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．cos 840°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.cos 840°＝cos (2×360°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－.故选A. 2．若sin α＝，α∈(，π)，则cos (π－α)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C.因为sin α＝，α∈(，π)， 所以cos α＝－＝－， 则cos(π－α)＝－cos α＝.故选C. 3．如图，点P为角α的终边与单位圆O的交点，tan (α＋π)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.由题可知，cos α＝，且α为第一象限角，根据同角三角函数的基本关系可得sin α＝＝，所以tanα＝＝，所以tan (α＋π)＝tan α＝.故选D. 4．已知cos (－x)＝－，则cos (＋x)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.cos (＋x)＝cos [π－(－x)]＝－cos (－x)＝.故选A. 5．(2025·葫芦岛月考)已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝(　　) A．－ B．1 C．2 D．3 解析：选B.因为P(1，3)为角α终边上一点，所以tan α＝3，所以＝＝＝＝1.故选B. 6．(多选)若n∈Z，则sin nπ＋cos (n＋1)π的取值可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选AC.当n＝2k，k∈Z时，sin 2kπ＋cos (2k＋1)π＝0－1＝－1；当n＝2k＋1，k∈Z时，sin (2k＋1)π＋cos (2k＋2)π＝0＋1＝1.所以sin nπ＋cos (n＋1)π的值为－1，1.故选AC. 7．tan －cos ＝________． 解析：tan －cos ＝tan (π＋)－cos (π＋)＝tan ＋cos ＝1＋＝. 答案： 8．若cos (π＋α)＝－，<α<2π，则sin (α－2π)＝________． 解析：由cos (π＋α)＝－cos α＝－， 得cos α＝，由<α<2π， 则sin α＝－＝－＝－， 故sin(α－2π)＝sin α＝－. 答案：－ 9．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，则 ＝________． 解析：因为sin (α＋π)＝， 所以sin α＝－<0. 又sin αcos α<0，所以cos α>0， 所以cos α＝＝， 所以tanα＝＝－， 原式＝＝ ＝＝. 答案： 10．(13分)化简下列各式． (1)；(6分) (2)sin (π＋α)cos (－α)＋sin (2π－α)cos (π－α)＋sin α cos (π＋α)tan (－π－α).(7分) 解：(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝－sin α cos α＋sin (－α)(－cos α)＋sin α(－cos α)(－tan α)＝－sin α cos α＋sin α·cos α＋sin α cos α tan α ＝sin αcos α·＝sin2α. 11．已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋1，且f(4)＝3，则f(985)＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：选A.因为f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＋1＝a sin α＋b cos β＋1＝3， 可得a sin α＋b cos β＝2， 所以f(985)＝a sin (985π＋α)＋b cos (985π＋β)＋1＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＋1 ＝－a sin α－b cos β＋1＝－(a sin α＋b cos β)＋1＝－1， 即f(985)＝－1.故选A. 12．(多选)(2025·丹东月考)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3a，－4a)(a＜0)，则(　　) A．cos α＝ B．sin (π－α)＝ C．cos (α－π)＝－ D．tan (π＋α)＝－ 解析：选BD.由题意cos α＝＝， sin α＝，tan α＝－， 因为a＜0，所以故A错误； 又sin (π－α)＝sin α＝，cos (α－π)＝－cos α＝，tan (π＋α)＝tan α＝－，故B，D正确，C错误． 13．如图，单位圆⊙O被点A1(1，0)，A2，A3，…，A12平均分成12份，以x轴的正半轴为始边，OAi(i＝1，2，…，12)为终边的角记为αi，则cos αi＝____________________，sin αi＝________．(说明：∑是一个连加符号，xi＝x1＋x2＋…＋xn) 解析：由题意得αi＋6＝αi＋π(i＝1，2，…，6)， 所以cos αi＋6＝cos (αi＋π)＝－cos αi， 所以cos αi＝0. 单位圆⊙O被平均分成12份，则α1＝0°，α2＝30°，α3＝60°，α4＝90°，α5＝120°，α6＝150°，α7＝180°，所以sin αi＝2＋. 答案：0　2＋ 14．(13分)已知f(α)＝. (1)化简f(α)；(6分) (2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值．(7分) 解：(1)f(α) ＝ ＝＝cos α. (2)由诱导公式可知sin (α－π)＝－sin α＝， 即sin α＝－，又α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以f(α)＝cosα＝－. 15．(13分)是否存在角α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：存在．因为等式 同时成立， 利用诱导公式化简得两式同时平方后相加得sin2α＋3cos2α＝2， 因为sin2α＋cos2α＝1，所以可得cos2α＝， 即cosα＝±，因为α∈(－，)， 所以cos α＝，α＝或α＝－. 当α＝时，代入cos α＝cos β得cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝， 此时也符合等式sin α＝sin β； 当α＝－时，代入cos α＝cos β得cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝， 显然此时不符合等式sin α＝sin β， 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $