7.2.3 同角三角函数的基本关系式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 基础过关练 题组一　利用同角三角函数的基本关系式求值 1.(2024重庆南开中学期末)设x∈R,则“sin x=”是“cos x=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(教材习题改编)若角α为第四象限角,且cos α=,则tan α=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-2　　　　D.2 3.(2024山东聊城期末)已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D. 4.(2025辽宁大连期中)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论不正确的是(　　) A.θ∈　　　　B.tan θ=- C.sin θ=　　　　D.sin θ-cos θ= 题组二　齐次式的求值问题 5.(2025辽宁本溪高级中学期中)若=-,则tan α的值为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 6.(2025河南信阳开学考试)若tan α=3,则2sin2α-sin αcos α+1的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.-1 7.(2025山东潍坊期末)已知角α的终边过点(m,3)(m≠0),且=,则实数m=　(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.6 8.(2024广东广州天河中学阶段练习)已知=-,则tan α=　　　　,sin2α+sin αcos α=　　　　.  9.已知tan α=,求下列各式的值: (1)+; (2); (3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α. 10.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈.求: (1)tan α; (2). 题组三　利用同角三角函数的基本关系式化简或证明 11.化简:=(　　) A.tan 　　　　B.- C.1　　　　D.-1 12.(2024江苏扬州中学期末)设θ为第二象限角,则的值为(　　) A.1　　　　B.-1 C.±1　　　　D.cos θ 13.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　) A.　　　　B. C.1　　　　D. 14.(2025山东枣庄段考)若α∈,化简:+=(　　) A.2sin α　　　　B.2cos α C.-2sin α　　　　D.-2cos α 15.(2025山西吕梁期末)已知α∈,则sin α+cos2α=(　　) A.-1　　　　B.-2cos α-1　　　　 C.1　　　　D.2cos α+1 16.化简:-=　　　.  17.求证:(1)sin θ(1+tan θ)+cos θ=+;(2)-2sin α+cos2αsin α=; (3)=. 18.(2025江苏南京期末)已知f(α)=. (1)若sin α+cos α=,且0<α<π,求f(α)的值; (2)若f(α)=,求sin2α-3sin αcos α的值. 能力提升练 题组一　利用同角三角函数的基本关系式求值 1.(2024山西质检)若α∈,且2sin α-cos α=1,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 2.(2024浙江杭州期末)若sin θ+cos θ=(0<θ<π),则tan θ+2sin θcos θ的值为(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D. 3.(多选题)(2024江西南昌师范大学附属中学期中)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列正确的是(　　) A.sin αcos α=　　　　B.sin α+cos α= C.α=　　　　D.cos4α+sin4α= 4.(2025辽宁朝阳月考)已知sin α=,cos α=,则实数m的可能取值构成的集合为　　　　.  5.(2025浙江温州期中)已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是某直角三角形的一个锐角的正弦值和余弦值,求实数m的值. 题组二　齐次式的求值问题 6.(2024河南开封期末)已知=,则=(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D. 7.(2025吉林长春期末)已知函数f(x)=a2x-6+3(a>0且a≠1)的图象经过定点A,且点A在角θ的终边上,则=(　　) A.-　　　　B.0　　　　C.7　　　　D. 8.(2025天津滨海新区期末)(1)已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求cos2α的值; (2)已知4sin2x+6sin x-cos2x-3cos x=0,求的值. 题组三　利用同角三角函数的基本关系式化简或证明 9.(2024四川绵阳中学期末)已知cos α=tan α,则+cos4α的值为(　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 10.(2025湖北荆州中学月考)化简:=　　　　.  11.(1)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1; (2)证明:-=. 答案与分层梯度式解析 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 基础过关练 1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 11.D 12.B 13.C 14.D 15.A 1.D　当sin x=时,cos x=±=±, 当cos x=时,sin x=±=±, 因此“sin x=”是“cos x=”的既不充分也不必要条件. 2.C　因为角α为第四象限角,且cos α=, 所以sin α=-=-=-, 所以tan α==-2. 3.A　因为tan α=-2,且0<α<π,所以α∈, 所以sin α>0,cos α<0. 又tan α==-2,sin2α+cos2α=1, 所以sin α=,cos α=-. 所以cos α-sin α=--=-. 4.C　由sin θ+cos θ=,两边平方得 sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=-1=-<0,又因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,则θ∈. 易得(sin θ-cos θ)2=sin2θ-2sin θcos θ+cos2θ=1-2sin θcos θ=1-=, 因为sin θ>0,cos θ<0, 所以sin θ-cos θ>0,则sin θ-cos θ==,故D中结论正确. 由得sin θ=,cos θ=-, 所以tan θ==-,故B中结论正确,C中结论错误. 因为tan θ=-<-1,且θ∈,所以结合角的正切线可知θ∈,故A中结论正确. 5.D　因为==-, 所以tan α=-. 6.B　2sin2α-sin αcos α+1 = ====. 7.C　由三角函数的定义得tan α=. ==,解得tan α=2,即=2,解得m=. 8.答案　2; 解析　由=-,得=-,解得tan α=2,故sin2α+sin αcos α====. 9.解析　(1)+=+.将tan α=代入,原式=+=. (2)==. 将tan α=代入,原式==. (3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α ==. 将tan α=代入,原式==. 解题模板 　　若题目中已知tan α的值,求关于sin α,cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式的式子)的值,可将其分子、分母同时除以cos α的整数次幂,把原式化为关于tan α的式子,然后将tan α的值代入来得到结果. 10.解析　(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α ===1, 即4tan2α-3tan α-1=0,解得tan α=-或tan α=1. ∵α∈,∴α为第二象限角, ∴tan α<0,∴tan α=-. (2)原式=. 将tan α=-代入,原式==. 11.D　原式===-1. 12.B　∵θ为第二象限角,∴cos θ<0, 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴==-1. 13.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α) =sin2α+cos2α=1. 14.D　∵α∈,∴sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,∴sin α+cos α<0,sin α-cos α>0, ∴+ =+ =|sin α-cos α|+|sin α+cos α| =sin α-cos α-sin α-cos α=-2cos α. 15.A　原式=sin α+cos2α =sin α·+cos2α·, 因为α∈,所以sin α<0,cos α>0, 则原式=-(1+cos α)+cos α=-1. 16.答案　0 解析　原式=- =-=0. 17.证明　(1)左边=sin θ+cos θ =sin θ++cos θ+ =+=+=右边, 所以原等式成立. (2)左边=(1-2cos2α+cos4α) ====右边, 所以原等式成立. (3)证法一:因为左边= == = ===右边, 所以原等式成立. 证法二:因为右边==, 左边== ==, 所以左边=右边,原等式成立. 18.解析　(1)解法一:因为sin α+cos α=, 所以(sin α+cos α)2=,即2sin αcos α=-, 所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=, 因为0<α<π,所以sin α>0, 又因为2sin αcos α=-<0,所以cos α<0, 因此sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=, 故f(α)===. 解法二:由sin α+cos α=及sin2α+cos2α=1, 可得sin α=,cos α=, 或sin α=,cos α=, 因为0<α<π,所以sin α>0, 故sin α=,cos α=, 所以sin α-cos α=, 因此f(α)===. (2)解法一:因为f(α)==, 所以2sin α=-4cos α, 若cos α=0,则由上式知sin α=0,与sin2α+cos2α=1矛盾,所以cos α≠0,从而可得tan α=-2. 则sin2α-3sin αcos α= ==2. 解法二:因为f(α)==, 所以sin α=-2cos α, 又sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,即cos2α=, 因此sin2α-3sin αcos α=4cos2α+6cos2α=10cos2α=2. 能力提升练 1.B 2.B 3.ABD 6.A 7.D 9.A 1.B　因为2sin α-cos α=1,所以cos α=2sin α-1, 又sin2α+cos2α=1, 所以sin2α+(2sin α-1)2=1,即5sin2α-4sin α=0,解得sin α=0或sin α=, 又α∈,所以sin α=,所以cos α=, 所以==. 2.B　因为sin θ+cos θ=①, 所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,得2sin θcos θ=-<0, 又0<θ<π,故sin θ>0,cos θ<0. 易得(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=, 所以sin θ-cos θ=②. 联立①②,解得sin θ=,cos θ=-, 则tan θ=-3, 故tan θ+2sin θcos θ=-3-=-. 3.ABD　对sin α-cos α=两边同时平方,得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=,所以sin αcos α=,故A正确; 因为0<α<π,sin αcos α=>0,所以sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α====,故B正确; sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=(sin α+cos α)(sin α-cos α)=×=,故C错误; cos4α+sin4α=-2sin2αcos2α=1-2×=,故D正确. 4.答案　{-1,2} 解析　由sin2α+cos2α=1可得+=1,所以(m+2)2+(-m-1)2=(2m+1)2, 即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. 当m=2时,sin α==,cos α==-,成立; 当m=-1时,sin α==-1,cos α==0,也成立. 故实数m的可能取值构成的集合为{-1,2}. 5.解析　不妨设该锐角为α, 因为方程4x2-2(m+1)x+m=0的判别式Δ=4(m+1)2-4×4m=4(m-1)2≥0,所以对任意m∈R,方程恒有两实根,且 所以sin2α+cos2α=(sin α+cos α)2-2sin αcos α=-=1,解得m=±, 当m=时,sin α+cos α=>0,sin αcos α=>0,满足题意; 当m=-时,sin α+cos α=<0,这与α是锐角矛盾,舍去.综上,m=. 6.A　由=可得=, 所以tan α=3, 则== ==-. 7.D　对于函数f(x)=a2x-6+3(a>0且a≠1),当x=3时,f(3)=4,即A(3,4), 因为点A在角θ的终边上,所以tan θ=, 易知cos θ≠0, 所以====. 8.解析　(1)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴=·,∴cos β=cos α或sin α=0. 当cos β=cos α时,∵sin β=sin α, ∴1=sin2α+cos2α=+2cos2α,解得cos2α=; 当sin α=0时,cos2α=1.故cos2α的值为或1. (2)∵4sin2x+6sin x-cos2x-3cos x=0, ∴(2sin x-cos x)(2sin x+cos x+3)=0. ∵2sin x+cos x+3>0,∴2sin x-cos x=0, 解得tan x=. ∴===. 9.A　由cos α=tan α=,得cos2α=sin α,又cos2α+sin2α=1,所以+cos4α=+sin2α=+sin2α=1+sin α+sin2α=1+cos2α+sin2α=2. 10.答案　 解析　原式= = = = = ===. 11.证明　(1)由tan2α=2tan2β+1,得tan2β=(tan2α-1),即=,故=×=×,整理,得=,即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β)·,化简,得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1. (2)左边= = = = ==右边, 所以原等式成立. 31 学科网（北京）股份有限公司 $