课时测评4 同角三角函数的基本关系式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评4　同角三角函数的基本关系式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan α的值为 (　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：因为α为第三象限角，且cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝.故选A． 2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为tan α＝－，α 是第四象限角，所以所以sin α＝－.故选B． 3．设α是第二象限角，则·＝(　　) A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1 答案：D 解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0，sin α>0，所以·＝·＝·＝－1.故选D． 4．化简(1－cos α)的结果是(　　) A．sin α B．cos α C．1＋sin α D．1＋cos α 答案：A 解析：(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.故选A． 5．已知sin α＋cos α＝－，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：sin α＋cos α＝－，即(cos α＋sin α)2＝1＋2cos αsin α＝，所以cos αsin α＝，因为<α<，所以cos α－sin α>0，(cos α－sin α)2＝1－2cos αsin α＝，所以cos α－sin α＝.故选B． 6．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝___________________________. 答案：－ 解析：由cos α＝－<0，tan α>0知α是第三象限角，所以sin α＝－，故＝＝sin α(1＋sin α)＝×＝－. 7．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为__________． 答案： 解析：因为cos α－sin α＝－①，所以1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.又0<α<，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝②.由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，所以＝. 8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于________． 答案：0 解析：＋＝＋，由题意得角α的终边在第二、四象限的角平分线上．当α是第二象限角时，sin α>0，cos α<0，则＋＝＋＝－tan α＋tan α＝0；当α是第四象限角时，sin α<0，cos α>0，则＋＝＋＝tan α－tan α＝0.综上，＋的值等于0. 9．(10分)已知tan x＝2. (1)求的值．(4分) (2)求sin2x＋cos2x的值．(6分) 解：(1)＝＝＝－3. (2)sin2x＋cos2x＝ ＝＝. 10．(13分)求证：＝. 证明：左边＝， ＝＝＝， ＝， ＝右边． 所以原等式成立． (11－13每小题5分，共15分) 11．已知sin α＋cos α＝，其中α∈，则tan α＝(　　) A．－ B．－或－ C．－ D． 答案：A 解析：因为sin α＋cos α＝①，两边平方得(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，因为α∈，所以sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝②，①＋②得：2sin α＝，即sin α＝，cos α＝－，则tan α＝－.故选A． 12．(多选)化简＋的值为(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．2 答案：ABC 解析：原式＝＋，当α为第一象限角时，上式值为3；当α为第二象限角时，上式值为1；当α为第三象限角时，上式值为－3；当α为第四象限角时，上式值为－1.故选ABC． 13．设sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin αcos α＝__________；cos α－sin α＝__________． 答案：－　－ 解析：因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，两边平方得1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－＝－＝－. 14．(5分)(新角度)若α∈，则＋的最小值是(　　) A．16 B．17 C．18 D．19 答案：A 解析：因为sin2α＋cos2α＝1，所以(sin2α＋cos2α)＝10＋＋≥10＋2＝16，因为α∈，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，所以＋的最小值是16.故选A． 15．(17分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x. (1)当f(sin α)＋f(cos α)＝f时，求sin α＋cos α的值；(7分) (2)当g2(sin α)＝g(cos α)时，求＋tan α的值．(10分) 解：(1)因为f(sin α)＋f(cos α)＝f， 所以ln(sin α)＋ln(cos α)＝ln ， 即 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 所以sin α＋cos α＝. (2)因为g2(sin α)＝g(cos α)， 所以(2sin α)2＝2cos α，即2sin α＝cos α. 又cos α≠0，故tan α＝. 因为2sin α＝cos α，且sin2α＋cos2α＝1， 解得sin2α＝，cos2α＝， 所以＋tan α＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $