第8章 阶段提升(三) 向量的数量积(范围：8.1)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段提升(三)　向量的数量积(范围：8.1) 题型一　平面向量的数量积 1．已知a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8 B．3＋ C．28 D．32 解析：选C.a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2＝25－(－4＋6)＋5＝28. 2．在△ABC中，BC＝2AB＝2，∠B＝，＝，P是直线BN上一点且＝m＋，则·＝(　　) A．－2 B．－ C．－ D．0 解析：选B.由＝，＝m＋，得＝m＋，由B，P，N三点共线，得m＋＝1，解得m＝，则＝＝，又BC＝2AB＝2，∠B＝，所以·＝－(2＋)·＝－(2·＋2)＝－×＝－. 3．若向量a＝(x，2)，b＝(2，3)，c＝(2，－4)，且a∥c，则a在b上的投影的坐标为________． 解析：因为a∥c， 所以－4x－4＝0，得x＝－1， 所以a＝(－1，2)，|a|＝＝， 又|b|＝＝， 所以＝(，)， 设a，b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以a在b上的投影的坐标为(|a|cos θ)＝××(，)＝(，). 答案：(，) 4．以字母“NK”为灵感设计的一款纪念胸章，如图所示，C＝，||＝4，||＝6，＝，＝＝＝，则·(＋)＝__________． 解析：以点C为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，B(0，4)，F(3，0)，G(3，2)，D(6，0)，E(6，4)， 所以＝(3，－4)，＝(3，－2)，＝(3，2)， 所以·(＋)＝(3，－4)·(6，0)＝18. 答案：18 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解． 题型二　平面向量中的最值 角度1　向量数量积的最值 [例1] 如图，在边长为3的正方形ABCD中，＝2，若P为线段BE上的动点(包括端点)，则·的最小值为 ________． 【解析】　在正方形ABCD中， 建立如图所示平面直角坐标系，由正方形边长为3且＝2， 可得A(0，0)，B(3，0)，D(0，3)，E(2，3)， 设＝λ＝(－λ，3λ)，λ∈[0，1]， 则P(3－λ，3λ)， 则＝(3－λ，3λ)，＝(3－λ，3λ－3)， 故·＝(3－λ)2＋3λ(3λ－3)＝10λ2－15λ＋9 ＝102＋， 故当λ＝时，·取得最小值，最小值为. 【答案】　 求解向量数量积的最值(范围)问题时，往往先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何知识求解． 角度2　向量模与夹角的最值 [例2] (1)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－2b|的最大值为(　　) A．1 B．3 C．7 D．5 (2)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角的最小值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)设向量a，b的夹角为θ， 则|a－2b|＝＝ ＝≤＝5. 当且仅当cos θ＝－1，即a，b反向共线时等号成立， 所以|a－2b|的最大值为5. (2)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0， 即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0<cos 〈a，b〉≤，又因为0≤〈a，b〉≤π， 所以≤〈a，b〉<，所以a，b夹角的最小值为. 【答案】　(1)D　 (2)C (1)求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝转化为函数或基本不等式求解，或利用向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解． (2)若两向量的夹角为α，先求出cos α的范围，再根据余弦函数y＝cos α在[0，π]上的单调性求出夹角α的范围． [跟踪训练] (1)已知向量a＝(，1)，向量a与向量b的夹角为，则|a－b|的最小值为(　　) A．2 B． C． D．1 解析：选B.设|b|＝x，又|a|＝2， 所以|a－b|＝＝＝， 根据二次函数性质，当x＝1时，|a－b|min＝. (2)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为AD的中点，F为AB的中点，Q为边CD上的动点(包括端点)，则·的取值范围为____________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知E(0，1)，F(2，0)， 设Q(t，2)，0≤t≤4， 从而＝(－t，－1)， ＝(2－t，－2)， ·＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]， 所以·＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]的取值范围是[1，10]. 答案：[1，10] 学科网（北京）股份有限公司 $