8.2.3 倍角公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学倍角公式核心知识点，以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础推导二倍角公式，涵盖公式正用、逆用及变形，延伸至给值求值、化简证明、函数性质及平面几何应用，构建完整知识链条与学习支架。 该资料设计亮点突出，新课导入结合王维诗句“倍思亲”联系生活，培养用数学眼光观察现实世界的意识。推导过程通过问题链引导推理，提升数学思维能力，如由两角和公式推导倍角公式。应用实例丰富，课中即时练与例题解析辅助教学，课后跟踪训练助力学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达能力。

8．2.3　倍角公式 新课导入 学习目标 唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像我们期待自己的成绩加倍提高一样，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系． 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 一　倍角公式 思考1　请写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；　 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； tan (α＋β)＝. 思考2　当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan (α＋α)＝. [知识梳理] 1．倍角公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ 点拨　二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系． 2．二倍角公式的变形 (1)逆用 2sinαcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α. (2)变形 ①cos2α＝，sin2α＝； ②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．(　　) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) (3)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．(　　) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列式子正确的是(　　) A．sincos ＝ B．＝ C．cos4－sin4＝－ D．1－2cos222.5°＝－ 解析：选D.因为sincos ＝sin ＝，所以A错误； 因为＝tan45°＝1，所以B错误； 因为cos4－sin4＝(cos2－sin2)＝cos＝，所以C错误； 因为1－2cos222.5°＝－cos45°＝－，所以D正确． 3．化简：－＝____________． 解析：－ ＝－ ＝－， 因为0°<5°<45°，所以cos 5°>sin 5°>0， 所以原式＝－2sin 5°. 答案：－2sin 5° 4．化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 答案： 有关二倍角给角求值问题的策略 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 二　给值求值 [例1] (1)若cos (2α－)＝，则sin 4α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝2，则tan 4β＝__________． 【解析】　(1)由cos (2α－)＝可得cos (4α－)＝2cos2(2α－)－1＝－， 故sin4α＝cos (4α－)＝－.故选C. (2)tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝＝＝， 故tan 4β＝＝＝. 【答案】　(1)C　(2) 有关二倍角给值求值问题的策略 (1)解决此类问题有两种方法，一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；二是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)； ②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x). [跟踪训练1] (1)已知cos θ－sin θ＝，则cos 4θ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A.由题意(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝()2＝，所以sin 2θ＝，cos 4θ＝1－2sin22θ＝1－2×()2＝－.故选A. (2)已知角α满足tan(α－)＝，则sin 2α＝__________． 解析：因为tan (α－)＝， 即tan (α－)＝＝，解得tan α＝2， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝. 答案： 三　化简与证明 [例2](对接教材例2)(1)已知<α<，化简＋－. (2)求证：＝tan . 【解】　(1)＋－ ＝＋－ ＝＋－， 因为<α<，所以cos α>0， 则sin α－cos α>0，sin α＋cos α>0， 所以原式＝2cos α＋sin α－cos α－sin α－cos α＝0. (2)证明： ＝ ＝＝tan . 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． [跟踪训练2] (1)化简： (α∈(，2π)). 解：因为<α<2π， 所以 ＝|cos α|＝cos α， 又<<π， 所以＝＝sin ， 所以原式＝sin . (2)证明：＝. 证明：等式左边 ＝ ＝ ＝＝ ＝等式右边， 所以原等式成立． 四　倍角公式的应用 角度1　在三角函数中的应用 [例3] (对接教材例3、例4)已知函数f(x)＝2sin2x＋sin2x－. (1)求f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心； (2)若x∈，求f(x)的值域． 【解】　(1)f(x)＝2×＋sin 2x－ ＝sin 2x－cos 2x ＝(sin 2x－cos 2x) ＝sin . 所以T＝π. 令2x－＝kπ，k∈Z， 所以x＝＋，k∈Z. 所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 所以sin ∈[－1，)， 所以f(x)∈[－，). 所以当x∈时，f(x)的值域为[－，). 要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等)，需先把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式． 角度2　在平面几何中的应用 [例4] (对接教材例5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＝1＋cos2A. (1)求角A的大小； (2)若sin2A＝2sin2B－2sin2C，求cos2C－cos 2B的值． 【解】　(1)由2sin2＝1＋cos2A， 可得cos 2A＋cos (B＋C)＝0， 即cos 2A－cos A＝0， 故2cos2A－cosA－1＝0， 解得cos A＝－或cos A＝1， 又A∈(0，π)，故cos A＝－，A＝. (2)由(1)可知，A＝，sin A＝， 则sin2A＝2sin2B－2sin2C＝(1－cos2B)－(1－cos 2C)＝cos 2C－cos 2B＝， 所以cos 2C－cos 2B＝. 在解决具体问题时，要结合之前所学的所有的公式，灵活运用，融会贯通，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正． [跟踪训练3] (1)在锐角三角形ABC中，若sin A cos A＝cos2A－，则A＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意＝， 又2A∈(0，π)，所以cos 2A＝sin 2A>0， 所以tan 2A＝1，2A＝，A＝.故选B. (2)已知函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2·sinωxcos ωx(ω>0)，且f(x)的图象中相邻的两个最高点之间的距离为π. ①求f(x)的最大值； ②求f(x)的单调递增区间． 解：①f(x)＝－(cos2ωx－sin2ωx)＋sin2ωx ＝sin 2ωx－cos 2ωx ＝2sin . 依题意知T＝π， 所以＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝2sin ， 当2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为2. ②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 1．已知cos 2α＝，则sin2α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.cos2α＝1－2sin2α＝，所以sin2α＝.故选D. 2．(多选)(教材P102T1改编)下列各式中值为1的是(　　) A．sin 75°cos 75° B．cos215°－sin215° C．＋2sin215° D．sin22024＋cos22024 解析：选CD.对于A，sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，不符合题意；对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，不符合题意；对于C，＋2sin215°＝＋1－cos30°＝＋1－＝1，符合题意；对于D，sin22024＋cos22024＝1，符合题意．故选CD. 3．(教材P103 练习AT4改编)已知α是第二象限角，且sin α＝，则tan 2α＝________． 解析：由sin α＝，α是第二象限角， 可知cos α＝－＝－， 所以tanα＝＝－3， 所以tan 2α＝＝＝. 答案： 4．化简与证明： (1)化简：； (2)证明：＝tan α＋. 解：(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝1. (2)证明： ＝ ＝ ＝＝tan α＋＝等式右边，证毕． 1．已学习：利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明． 2．须贯通：二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α倍角，α是的倍角，在二倍角公式中，要特别关注二倍角的余弦公式及其变形． 3．应注意：化简求值开根号，易忽略角的范围；具体问题中隐含的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $