第7章 阶段提升(一) 三角函数及诱导公式(范围：7.1～7.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角函数及诱导公式核心知识点，系统梳理任意角与弧度制（终边相同角表示、区域角界定、扇形相关计算）、三角函数概念（定义应用）、同角三角函数关系（平方与商数关系）、诱导公式（口诀与化角技巧），构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料通过例题解析与规律总结，引导学生用数学眼光观察角的终边特征，以数学思维推理象限判断与公式变形，用数学语言规范解题过程。如扇环面积计算结合实际情境，培养应用意识，同角关系题融入方程思想提升运算能力。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

阶段提升(一)　三角函数及诱导公式(范围：7.1～7.2) 题型一　任意角与弧度制 1．已知α与210°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 解析：选B.由α与210°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－210°，k∈Z，所以＝k·180°－105°，k∈Z，取k＝0，1可确定是第一或第三象限角． 2．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　) A．{α|＋2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z} B． C． D． 解析：选B.由题图得终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是. 3．与－660°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________． 解析：因为与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)， 所以当k＝2时，与－660°角终边相同的最小正角是60°. 当k＝1时，与－660°角终边相同的最大负角是－300°. 答案：60°　－300° 4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面大致为如图所示的扇环，记的长为l1 cm，的长为l2＝12 cm，若l1∶l2＝3∶1，AD＝8 cm，则扇环的面积为________cm2. 解析：由题意得，l1＝36 cm，如图，设扇环所在圆的圆心为O，OD＝r，∠AOB的弧度数为α， 则解得 则扇环的面积S＝×36×(8＋4)－×12×4＝192(cm2). 答案：192 　 关于任意角与弧度制 (1)与α终边相同的角都可以用α＋k·360°(k∈Z)或α＋2kπ(k∈Z)的形式表示； (2)表示区域角时按逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界，加上180°或360°的整数倍； (3)确定与nα终边所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范围，然后根据k的范围分类讨论； (4)解决扇形的面积或周长等最值问题的关键是运用函数与方程或不等式思想． 题型二　三角函数的概念 1．已知角α的终边经过点P(－8，m)，且tan α＝－，则sin α的值是(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选A.由三角函数的定义可得 tan α＝＝－， 解得m＝6， 所以sin α＝＝. 2．若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________． 解析：因为P(－4，3)是角α终边上一点， 则点P(－4，3)到原点的距离是＝5， 所以sin α＝， 则＝ ＝＝－＝－. 答案：－ 3．已知P0(1，)是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点P从P0开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为rad/s，则2s时点P的坐标为________． 解析：记点P0(1，)是角α终边上的一点， 则sin α＝＝，cos α＝＝， 则α＝＋2kπ(k∈Z). 经过2 s，记点P是角β终边上的一点， 由题意β＝α＋×2＝＋2kπ(k∈Z)， 则xP＝2cos β＝－，yP＝2sin β＝1， 即点P的坐标为(－，1). 答案：(－，1) 　 关于三角函数概念的应用 解决与三角函数概念相关的问题，要特别注意两点，一是三角函数定义，二是诱导公式的应用． 题型三　同角三角函数的关系 1．若sin α＝－，α为第四象限角，则cos α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.由sin α＝－，sin2α＋cos2α＝1可得cos2α＝，可得cosα＝±，又α为第四象限角，所以cos α＞0，即cos α＝. 2．已知＜α＜π，则cos α－＝(　　) A．sin α＋1 B．－1－cos α C．－1＋sin α D．cos α－1 解析：选D.因为＜α＜π，则sin α＞0，cos α＜0，故原式＝cos α－＝cos α－(sin α－cos α)＝sin α－1－sin α＋cos α＝cos α－1. 3．已知sin α，cos α是关于x的方程2x2－x＋t＝0的两根，则实数t＝________． 解析：由方程2x2－x＋t＝0有两根，得Δ＝1－8t≥0，解得t≤，依题意得sin α＋cos α＝，sin αcos α＝，则sin2α＋cos2α＝(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝－t＝1，解得t＝－，符合题意，所以实数t＝－. 答案：－ 　 关于同角三角函数基本关系的应用 解决与同角三角函数基本关系有关的问题，要特别注意三点，一是正弦、余弦、正切的互化，二是公式的灵活变形应用，如“1”的代换，三是利用平方关系求值时要注意角所在的象限． 题型四　诱导公式 1．已知sin (θ＋)＝，则cos (θ－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.cos (θ－)＝cos (θ＋－)＝sin (θ＋)＝. 2．(多选)已知角α的终边与单位圆相交于点P，则(　　) A．cos α＝ B．sin ＝ C．sin (α＋π)＝ D．cos ＝ 解析：选AC.根据三角函数的定义得， cos α＝，sin α＝－，故A正确； sin ＝cos α＝，故B错误； sin (α＋π)＝－sin α＝，故C正确； cos ＝sin α＝－，故D错误． 3．已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，则＝________． 解析：因为sin (α－3π)＝2cos (α－4π)， 所以－sin (3π－α)＝2cos (4π－α)， 所以－sin (π－α)＝2cos (－α)， 所以sin α＝－2cos α且cos α≠0， 所以原式＝ ＝ ＝＝－. 答案：－ 4．若tan α＝2，则的值为________． 解析：由tan α＝2， 得＝ ＝－＝－＝－3. 答案：－3 　 诱导公式的应用 (1)应用口诀：奇变偶不变，符号看象限； (2)基本步骤：负化正，大化小，小化锐，锐求值； (3)化角技巧：观察已知角与所求角的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $