8.2.4 三角恒等变换的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角恒等变换的应用，系统梳理半角公式的推导与符号判断，积化和差、和差化积公式的推导及综合应用，构建从概念导入到公式推导再到求值、化简、证明的完整学习支架。 以“输入法半角全角”生活实例导入，通过问题链引导公式推导培养推理能力，结合即时练、例题解析及高考真题，助力课中教学与课后巩固，体现用数学眼光观察、用数学思维推理、用数学语言表达的核心素养。

8．2.4　三角恒等变换的应用 新课导入 学习目标 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 1.了解半角公式及其推导过程． 2．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式． 3．灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明． 一　半角公式 思考1　如何用cos2α表示sin2α，cos2α，tan2α？ 提示：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，tan2α＝. 思考2　如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？ 提示：借助思考1中的公式，以角“”代替“α”， 可得sin2＝(1－cosα)，cos2＝(1＋cosα)， tan2＝. [知识梳理] 1．S：sin ＝±__， 2．C：cos ＝±__， 3．T：tan ＝±__＝＝. 点拨　半角公式中的“±”号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留“±”两个符号；若给出α的具体范围，则先求的所在范围，然后再根据所在范围选用符号． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)半角公式对任意角都适用．(　　) (2)cos ＝.(　　) (3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　) (4)sin 8α＝2sin 6αcos 2α.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．cos ＝(　　) A． B． C．2－ D． 解析：选A.因为0<<，所以cos ＝＝＝.故选A. 3．已知cos α＝，α∈(－，0)，则sin ＝___________________________ _____________________________________________________________________. 解析：依题意， sin ＝－＝－ ＝－. 答案：－ 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的二倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 二　积化和差、和差化积公式 [知识梳理] 1．积化和差公式 cos αcos β＝[cos__(α＋β)＋cos__(α－β)]， sin αsin β＝－[cos__(α＋β)－cos__(α－β)]， sin αcos β＝[sin__(α＋β)＋sin__(α－β)]， cos αsin β＝[sin__(α＋β)－sin__(α－β)]． 2．和差化积公式 cos x＋cos y＝2cos__cos__， cos x－cos y＝－2sin__sin__， sin x＋sin y＝2sin__cos__， sin x－sin y＝2cos__sin__． 角度1　利用积化和差、和差化积公式求值 [例1] (1)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°； (2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值． 【解】　(1)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝ ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋ ＝(cos 70°＋cos 110°)＋ ＝×(2cos 90°cos 20°)＋＝. (2)因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝.① 又因为sin α－sin β＝－， 所以2cos sin ＝－.② 因为sin ≠0，所以由①②， 得－tan ＝－，即tan ＝. 所以sin (α＋β)＝ ＝＝＝. 应用积化和差、和差化积公式时的注意事项 (1)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． (2)根据实际问题选用公式时，应从以下两个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． 角度2　积化和差、和差化积公式的综合应用 [例2] (对接教材例3)已知函数f(x)＝sin －sin . (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最小值及最小值点． 【解】　(1)由和差化积公式可知f(x)＝2cos · sin ＝2cos sin ＝2cos ·(－) ＝－cos . 所以函数f(x)的最小正周期T＝π. (2)令2x＋＝2kπ，k∈Z， 解得x＝－＋kπ，k∈Z， 所以当x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)min＝－. 所以f(x)的最小值点为－＋kπ，k∈Z，最小值为－. 应用公式解决三角函数综合问题的思路 　 [跟踪训练1] (1)求下列各式的值： ①sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝______________________________ __________________________________________________________________； ②sin 54°－sin 18°＝____________． 解析：①原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°) ＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－ ＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70° ＝－sin 70°＋sin 70°＝. ②原式＝2cos 36°sin 18° ＝2× ＝ ＝＝＝. 答案：①　② (2)已知函数f(x)＝sin cos . ①求函数f(x)的值域； ②若x∈[0，2π]，求函数f(x)的零点． 解：①由积化和差公式可知 f(x)＝[sin ＋sin ] ＝ ＝sin －， 因为sin ∈[－1，1]， 所以函数f(x)的值域为[－1，0]. ②令f(x)＝0，得sin ＝1， 所以2x－＝＋2kπ，k∈Z， 所以x＝＋kπ，k∈Z. 因为x∈[0，2π]，所以x＝或x＝， 所以函数f(x)的零点为，. 三　利用三角恒等变换证明三角恒等式 [例3] (对接教材例4)已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin sin cos . 【证明】　因为左边＝sin (B＋C)＋2sin ·cos ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2cos ＝2cos ·2sin cos ＝4sin sin cos ＝右边， 所以原等式成立． 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，若分式不好证明，可变形为整式来证明． [跟踪训练2] 求证：tan －tan ＝. 证明：方法一：tan －tan ＝－＝ ＝＝ ＝ ＝.所以原等式成立． 方法二：因为 ＝ ＝ ＝－ ＝tan －tan .所以原等式成立． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.方法一：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角， 所以sin＞0，所以sin ＝. 方法二：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足．故选D. 2．(多选)已知2sinα＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　) A． B．1 C．2 D．不存在 解析：选AD.由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sincos －cos2＝cos(2sin －cos )＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在．故选AD. 3．(教材P109练习BT2改编)已知函数f(x)＝cos sin ，则f(x)的最小正周期为__________，最大值为__________． 解析：f(x)＝ ＝ ＝sin －. 所以T＝＝，f(x)max＝－. 答案：　－ 4．(1)化简：； (2)求证：＝tan2. 解：(1)原式＝＝＝. (2)证明：左边＝ ＝ ＝ ＝＝()2 ＝()2 ＝tan2 ＝右边．所以原等式成立． 1．已学习：半角公式、积化和差与和差化积公式；三角函数式的化简、证明． 2．须贯通：三角恒等变换的三个原则：变角、变名及变结构，灵活借助辅助角公式把三角函数式化为一个角的三角函数． 3．应注意：半角公式符号的判断，实际问题中隐含的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $