第8章 8.2.4 三角恒等变换的应用（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角恒等变换的应用，核心知识点包括由二倍角公式推导半角公式，利用和差角公式推导积化和差与和差化积公式，以及公式在求值、三角函数性质研究和实际问题中的应用，构建从基础公式到拓展应用的学习支架。 该资料通过问题链引导公式推导培养逻辑推理，如半角公式探究中“用α替换2α”的设问；结合例题与触类旁通题提升数学运算，如利用积化和差公式求值；融入矩形面积计算等实际案例强化应用意识。课中助力教师引导学生探究，课后通过练习题和易错辨析帮助学生查漏补缺，有效落实核心素养。

8.2.4　三角恒等变换的应用 学业标准 学科素养 1.能用倍角公式推导半角公式，理解积化和差与和差化积公式．(重点) 2．会用上述公式进行三角恒等变换及应用．(难点) 1.通过三角恒等变换的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过应用三角恒等变换的应用(如求值、研究三角函数性质等)，提升数学运算等核心素养． 导学1 半角公式的探究 　我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？ [提示]　结果是cos α＝2cos2－1 ＝1－2sin2＝cos2－sin2. 　根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan . [提示]　∵cos2＝， ∴cos ＝± ， 同理sin ＝± ， ∴tan ＝＝± . ◎结论形成 导学2 积化和差与和差化积公式 　利用Cα±β公式，能用cos (α±β)表示cos αcos β及sin αsin β吗？ [提示]　能．因为cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β，运用方程思想得 cos αcos β＝， sin αsin β＝－. 　利用Sα±β公式，能用sin (α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？ [提示]　能．类似地由sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β得到 sin αcos β＝， cos αsin β＝. ◎结论形成 1．积化和差公式 cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]， sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]， cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]． 2．和差化积公式 cos x＋cos y＝2cos cos ， cos x－cos y＝－2sin sin ， sin x＋sin y＝2sin cos ， sin x－sin y＝2cos sin ． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 15°＝± .(　　) (2)对于∀α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　) (3)若5π<θ<6π，cos ＝a，则cos ＝.(　　) (4)tan ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　) A． B．－ C． D． 解析　∵α∈，∴∈， sin ＝＝. 答案　A 3．sin 37.5°cos 7.5°的值为(　　) A． B． C． D． 解析　原式＝(sin 45°＋sin 30°) ＝＝. 答案　C 4．求值：＝ ． 解析　原式＝＝ ＝＝＝＝2－. 答案　2－ 题型一　半角公式的应用 　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . [解析]　sin ＝± ＝± ＝±， cos ＝± ＝± ＝±， tan ＝± ＝± ＝±. ∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角． 当为第二象限角时， sin ＝，cos ＝－，tan ＝－； 当为第四象限角时， sin ＝－，cos ＝，tan ＝－. 已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求的范围．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·陕西渭南期末)已知cos ＝，720°<α<900°，则sin 等于(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2025·湖南岳阳月考)若α为第三象限角，且sin α＝－，则tan ＝(　　) A．－3 B．－ C．2 D．－2 解析　(1)因为720°<α<900°，所以180°<<225°， 因为cos ＝，所以sin ＝－＝ －＝－. (2)α为第三象限角，且sin α＝－， 则cos α＝－， 得tan ＝＝＝＝＝－3，故选A. 答案　(1)A　(2)A 题型二　积(和差)化和差(积)公式的简单应用 　已知sin sin ＝，求tan θ. [解析]　解法一　∵sin sin ＝， ∴－＝. ∴cos 2θ＝－＝.∴tanθ＝±2. 解法二　∵sin sin ＝， ∴ ＝， ∴sin2θ－cos2θ＝， ∴×－×＝， 即cos 2θ＝－＝. ∴tanθ＝±2. 当条件或结论中出现了同名弦函数的和(差)或弦函数积的形式，合理选用和差化积与积化和差公式进行三角恒等变换．　 [触类旁通] 2．(2024·江苏盐城高一期中)若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 解析　由sin α＋sin β＝sin ＋sin ＝2sin cos ＝， cos α＋cos β＝cos ＋cos ＝2cos cos ＝， 两式相除得tan ＝＝2. 答案　A 题型三　三角恒等变换的应用 角度1　三角函数的性质与恒等变换的综合 　(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． [解析]　(1)由题意f(0)＝cos φ＝(0≤φ<π)，所以φ＝. (2)由(1)可知f(x)＝cos ， 所以g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos ， 所以函数g(x)的值域为[－，]， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)， 函数g(x)的单调递增区间为 (k∈Z). [素养聚焦]　在求解三角函数的单调区间的过程中，应用了三角公式进行恒等变换，把三角函数式化为一个角的三角函数，体现了数学运算核心素养． 利用三角恒等变换求单调区间的方法 (1)三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． (2)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ作为一个整体，利用三角函数的单调性求解．　 角度2　三角恒等变换的实际应用 　持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片扇形区域(如图1)上按照图2的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，∠MON＝，ON＝OM＝10 m，设∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S. (1)用含θ的式子表示DC，OB的长； (2)若此人布置1 m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩形宣传栏最多要花费多少元． (参考数据：≈1.732，≈1.414) [解析]　(1)在△ODC中DC＝10sin θ， 在△OAB中，OB＝10sin θ. (2)在△ODC中OC＝10cos θ， 从而S＝BC×CD＝100(cos θsin θ－sin2θ) ＝100 ＝100 ＝100sin －50，0＜θ＜， 当2θ＋＝，θ＝时， S取得最大值100－50≈13.4， 此人布置1 m2的宣传区域需要花费40元， 所以布置此矩形宣传栏最多要花费13.4×40＝536元． 三角函数解决实际问题的基本策略 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． (2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．　 [触类旁通] 3．(1)函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　) A． B．1 C． D． (2)弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ的值为 ． 解析　(1)f(x)＝sin ＋cos ＝sin ＋cos ＝cos ＋cos ＝cos . 设g(x)＝cos ，则g(x)∈[－1，1]， 所以f(x)∈，f(x)的最大值为，故选A. (2)由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈. 所以cos θ－sin θ＝. 两边平方，得1－sin 2θ＝， 所以sin 2θ＝，0＜θ＜， 所以0＜2θ＜， 所以cos 2θ＝＝. 答案　(1)A　(2) [缜密思维提能区] 易错辨析 三角函数中的条件求值问题 [典例]　已知cosα－cos β＝①，sin α－sin β＝－②，求sin (α＋β)的值． [错解]　由①2＋②2，得2－2cos (α－β)＝， ∴cos (α－β)＝. 由①2－②2， 得cos 2α＋cos 2β－2cos (α＋β)＝， 即cos (α＋β)[2cos (α－β)－2]＝， 把cos (α－β)＝代入上式， 得cos (α＋β)＝－， ∴sin (α＋β)＝±＝±. [错因分析]　上述求解sin (α＋β)的符号不能确定，从而出现多解． [正解]　将①②两式左边分别和差化积，得 －2sin sin ＝，③ 2cos sin ＝－.④ 由③④，得sin ≠0， 故③÷④，得tan ＝， ∴sin (α＋β)＝ ＝＝. [纠错心得] 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能因开方而不同，但最终结果应该是相同的，因此灵活、恰当地选择合适的公式是解决此类题目的关键，应尽量避开含正负号的公式． 知识落实 技法强化 (1)半角公式． (2)积化和差、和差化积公式． (3)利用三角恒等变换证明三角恒等式． (1)本节课应用了分类讨论、整体代换的思想方法． (2)积化和差、和差化积公式易记错、易混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $