第8章 阶段提升(四) 三角恒等变换与三角函数的性质(范围：8.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段提升(四)　三角恒等变换与三角函数的性质(范围：8.2) 题型一　三角恒等变换 1．若tan α＝2，tan (2α＋β)＝8，则tan (α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D． 解析：选D.tan (α＋β)＝tan (2α＋β－α)＝＝＝. 2．已知α为锐角，若sin α＝，则cos2＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.已知α为锐角，若sinα＝， 则cos α＝＝， 所以cos2＝＝＝. 3．求值：sin 20°(tan 50°＋)＝____________． 解析：sin 20°(tan 50°＋)＝sin (50°－30°)(tan 50°＋)＝(sin 50°－cos 50°)(＋) ＝＋sin 50°－－cos 50°＝sin 50°－＝sin 50°－ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝1. 答案：1 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． (2)形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)，可进一步研究函数的性质． 题型二　恒等变换与三角函数的周期性 [例1] (1)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x－，则f(x)的最小正周期为(　　) A．1 B．π C．2 D．2π (2)若函数f(x)＝2cos2(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝________． 【解析】　(1)f(x)＝sin2x＋sinx cos x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)， 因此，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.故选B. (2)因为f(x)＝2cos2(ωx＋)＝cos(2ωx＋)＋1， 且f(x)的最小正周期为π， 所以T＝＝π，解得ω＝1， 所以f(x)＝cos (2x＋)＋1， 则f()＝cos (＋)＋1＝cos π＋1＝0. 【答案】　(1)B　(2)0 探求三角函数的周期，常采用公式法，即先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式T＝求解． [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝4sin2x－1的最小正周期是(　　) A．π B． C． D．2π 解析：选A.依题意，f(x)＝－2cos2x＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选A. (2)已知函数f(x)＝cos42ax－sin42ax(a>0)的最小正周期为π，则常数a的值为________． 解析：f(x)＝cos42ax－sin42ax＝(cos22ax＋sin22ax)·(cos22ax－sin22ax)＝cos22ax－sin22ax＝cos4ax，由最小正周期为π得＝π，解得a＝. 答案： 题型三　恒等变换与三角函数的奇偶性 [例2] 已知函数f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)，其中a∈R.则当a＝________时，f(x)为偶函数． 【解析】　由函数f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)，可得f()＝a＋，f(－)＝－a－， 若f(x)是偶函数，则f()＝f(－)， 即a＋＝－a－，可得a＝－3， 当a＝－3时，函数f(x)＝－3sin (x＋)－cos (x＋)＝(－－)cos x， 此时函数满足f(－x)＝f(x)，函数f(x)为偶函数． 【答案】　－3 母题探究　本例条件不变，当a＝________时，f(x)为奇函数． 解析：由f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)， 可得f(0)＝a－， 若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，可得a＝， 当a＝时，f(x)＝sin (x＋)－cos (x＋) ＝(＋)sin x， 此时函数满足f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数． 答案： 判断三角函数的奇偶性，往往先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，然后根据诱导公式寻求适当的φ值，把函数转化为y＝A sin ωx或y＝A cos ωx(A≠0，ω＞0).　 [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.若函数y＝f(x＋m)是偶函数，则|m|的最小值为________． 解析：由题意得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)， 所以f(x＋m)＝2sin [2(x＋m)＋]＝2sin (2x＋2m＋)， 又因为y＝f(x＋m)是偶函数， 所以2m＋＝＋kπ(k∈Z)， 即m＝＋(k∈Z)， 当k＝0时，|m|最小，最小值为. 答案： 题型四　恒等变换与三角函数的对称性 [例3] 已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，则函数f(x)的图象(　　) A．关于点(，－)对称 B．关于点(，－)对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 【解析】　f(x)＝sin2x－ ＝sin (2x－)－. 因为f()＝sin (2×－)－＝－，所以函数f(x)的图象关于点(，－)对称，不关于直线x＝对称，因此A正确，C不正确； 因为f()＝sin (2×－)－＝0，所以函数f(x)的图象不关于点(，－)对称，也不关于直线x＝对称，因此B，D都不正确．故选A. 【答案】　A 探求三角函数的对称性，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，若探求函数图象的对称轴，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x图象的对称轴，求得x即可；若探求函数图象的对称中心，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x图象的对称中心的横坐标，进而得到y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称中心． [跟踪训练3] 已知函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________． 解析：由f(x)＝a sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝，可得f(x)max＝，由函数f(x)的图象关于直线x＝对称，可得f()＝±，即＋＝±，整理得a2－2a＋3＝0，解得a＝. 答案： 题型五　恒等变换与三角函数的单调性、最值 [例4] 已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值和最大值． 【解】　(1)f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋ ＝sin 2x－(1－cos 2x)＋＝sin 2x＋cos 2x＋－1＝sin (2x＋)＋－1. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得， kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z). (2)因为x∈[－，]，所以－≤2x＋≤， 所以－≤sin (2x＋)≤1. 所以－1≤sin (2x＋)≤. 所以－2≤sin (2x＋)＋－1≤2－1. 所以函数f(x)在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2－1. 探求三角函数的单调性、最值，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，若求函数的单调区间，则把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的相应单调区间内，求得x的范围即可；若求函数的最值或值域，可由定义域求得ωx＋φ的范围，进而得到A sin (ωx＋φ)或A cos (ωx＋φ)的范围． [跟踪训练4] 已知函数f(x)＝a sin ωx cos ωx(a>0，ω>0)，f(x)的最大值为1，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间． 解：(1)因为f(x)＝a sin ωx cos ωx(a>0，ω>0)， 所以f(x)＝a sin 2ωx， 因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝＝π，解得ω＝1， 所以f(x)＝a sin 2x， 又f(x)的最大值为1， 所以a＝1，解得a＝2， 所以f(x)＝sin 2x. (2)由(1)可得g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1＝sin2x－(cos 2x＋1)＋1＝sin 2x－cos 2x， ＝(sin 2x－cos 2x) ＝sin (2x－)， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z， 又x∈(0，π)，所以g(x)在(0，π)上的单调递增区间有(0，]和[，π). 学科网（北京）股份有限公司 $