第8章 8.2.3 倍角公式（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦倍角公式核心知识点，从两角和公式出发，通过问题链推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，结合同角关系得到余弦多形式，延伸逆用及升幂降幂变形，以例题和分层练习为支架帮助学生构建知识体系。 资料以问题驱动推导培养逻辑推理素养，通过分层题型提升数学运算能力，规范答题强化严谨表达。例如引导学生自主推导余弦倍角公式多种形式，课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾练习查漏补缺。

8.2.3　倍角公式 学业标准 学科素养 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(难点) 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．(重点) 1.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，提升数学运算等核心素养． 导学 倍角公式 　在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若α＝β，公式还成立吗？ [提示]　成立． 　在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？ [提示]　cos 2α＝cos2α－sin2α，sin2α＝2sin αcos α，tan 2α＝. 　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cos α表示cos 2α？ [提示]　cos 2α＝cos2α－sin2α ＝cos2α－(1－cos2α) ＝2cos2α－1＝(1－sin2α)－sin2α ＝1－2sin2α. ◎结论形成 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) 2．公式的逆用 2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α. 3．倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 (1)升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cos α＝2sin2. (2)降幂公式 cos2α＝，sin2α＝. 4．角±x与2x的弦函数之间的关系 (1)sin 2x＝cos 2＝2cos2－1 ＝1－2sin2， cos 2x＝sin 2＝2sin cos . (2)sin 2x＝sin ＝－cos 2＝1－2cos2 ＝2sin2－1， cos 2x＝cos ＝sin 2＝2sin cos . 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在角α，使cos 2α＝2cos α.(　　) (2)sin α＝2sin cos .(　　) (3)cos2α＝(1＋cos2α)，cos 3α＝1－2sin2α.(　　) (4)＝tan.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析　因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝＝＝－. 答案　D 3．化简·等于(　　) A．2cos α B．2sin α C． D．cos α 解析　原式＝·＝2cos α. 答案　A 4．＝ ． 解析　原式＝×＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan 60°＝－. 答案　－ 题型一　倍角公式的正用、逆用 　求下列各式的值： (1)cos2－sin2； (2)； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. [解析]　(1)原式＝cos ＝. (2)原式＝tan 45°＝. (3)原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° ＝·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝sin 80°cos 80°＝·sin 160° ＝＝. 二倍角公式的关注点 (1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等． (2)求值要结合诱导公式和同角三角函数的基本关系构造符合二倍角公式形式． (3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．　 [触类旁通] 1．(1)tan 67.5°－1＝(　　) A． B． C． D． (2)的值为 ． 解析　(1)因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝＝－1，整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0，解得tan 67.5°＝1＋或tan 67.5°＝1－(舍去)， 所以tan 67.5°－1＝. (2)＝ ＝＝－＝－＝－. 答案　(1)A　(2)－ 题型二　条件求值问题 　[教材例1迁移](1)(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． (2)已知sin ＝，0＜x＜，求的值． [解析]　(1)cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－， 因为0<α<π，所以<α<π， 则sinα＝＝＝， 则sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.故选D. (2)∵0＜x＜，sin ＝， ∴－x∈，cos ＝， ＝ ＝(cos x＋sin x)＝2cos ＝. [答案]　(1)D　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)若例2(2)的条件不变，则＝ ． 解析　sin ＝cos x－sin x＝， 平方得sin 2x＝， sin ＝cos ＝cos ＝， 所以＝×＝. 答案　 2．(变条件)若例2(2)的“sin ＝”变为“tan ＝”，其他条件不变，结果如何？ 解析　因为tan ＝， 所以sin ＝cos ， 又sin2＋cos2＝1， 故可解得cos ＝， 原式＝2cos ＝. [素养聚焦]　在条件求值的解题过程中，应用了正弦、余弦、正切二倍角公式及其变形，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·辽宁抚顺高一期中)若tan ＝4，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2024·浙江杭州高一期中)已知2cos 2α＋sin α＋3＝0，则sin α＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－1或 解析　(1)tan α＝tan ＝＝－. (2)因为cos 2α＝1－2sin2α， 所以2(1－2sin2α)＋sinα＋3＝0，解得sin α＝－1或(舍去). 答案　(1)C　(2)B 题型三　倍角公式的化简证明问题 　(1)化简：. (2)求证：＝tan4A. [解析]　(1) ＝ ＝· ＝·＝tan x. (2)证明　因为左边＝ ＝＝＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边． 所以＝tan4A. 1．三角函数式的化简原则 三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分． 2．证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．　 [触类旁通] 3．(1)化简：·． (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A·cos 2B. (1)解析　原式＝·＝·＝·＝2. (2)证明　左边＝－＝ ＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2A sin 2B) ＝cos 2A cos 2B＝右边，所以等式成立． [缜密思维提能区] 规范答题 利用三角恒等变换讨论三角函数的性质 [典例]　(13分)已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. [规范解答]　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x(3分) ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin .①(5分) 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(7分) (2)因为－≤x≤，(9分) 所以－≤2x＋≤. 所以sin ≥ sin ＝－.②(11分) 所以当x∈时，f(x)≥－. (13分) [纠错心得] 讨论三角函数的性质关键是把三角函数化成f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式． 知识落实 技法强化 (1)倍角公式的推导． (2)利用倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明． (1)利用二倍角公式求值、化简时注意转化法． (2)不要混淆倍角公式的余弦公式． 学科网（北京）股份有限公司 $