8.2.2 第2课时 两角和与差的正切（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“两角和与差的正切”核心知识点，基于已学的两角和与差的正弦、余弦公式，通过同角三角函数商数关系推导正切公式，构建从正弦、余弦到正切的三角恒等变换知识支架，涵盖公式正用、逆用、变形及给值求值、求角等应用。 该资料以“思考-提示”引导公式推导培养数学抽象与逻辑推理，例题中角的拆分（如255°=180°+75°=45°+30°）训练数学思维，结合正方形图形问题（跟踪训练2）体现数学眼光观察现实，课中辅助教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2课时　两角和与差的正切 一　两角和与差的正切公式 思考　根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式将tan (α＋β)，tan (α－β)用tan α，tan β来表示？ 提示：tan (α＋β)＝＝，分子分母同除以cos αcos β，弦化切可得tan (α＋β)＝；用“－β”替换tan (α＋β)中的“β”就可得到tan (α－β)＝. [知识梳理] 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan (α＋β)＝ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 tan (α－β)＝ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1 点拨　在两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β，均不等于kπ＋(k∈Z). [例1] (1)(对接教材例5)tan 255°＝(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ (2)＝________． 【解析】　(1)tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75° ＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋. (2)＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1. 【答案】　(1)D　 (2)1 有关两角和与差的正切问题，先从所要解决的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形使用公式．在化简求值过程中，一要注意“特殊值”的代换和应用：如“1＝tan ”“＝tan ”；二要有整体意识：若化简的式子中出现“tan α±tan β”或“tan α·tan β”，常考虑tan (α±β)的变形公式． 常用结论 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan (α－ β)(1＋tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. [跟踪训练1] 化简求值： (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解：(1)＝ ＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1. (2)因为tan 60°＝＝， 所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， 所以tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 二　给值求值（角） [例2] (1)已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝4，则tan 2α ＝________． (2)已知α，β均为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝＝－. (2)由tan α＝2，tan β＝3 得tan (α＋β)＝＝＝－1， 由于α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 故α＋β＝.故选C. 【答案】　(1)－　(2)C (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． [跟踪训练2] (1)如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝(　　) A. B． C． D． 解析：选B.设正方形的边长为1， 由题图可得tan α＝，tan β＝， 则tan (α＋β)＝＝1， 又0＜α＋β＜π， 所以α＋β＝.故选B. (2)(2025·济南月考)若tan (α＋β)＝，tan ＝，则tan 的值为_____________________________________________________________________． 解析：因为tan (α＋β)＝，tan ＝， 所以tan ＝tan [α＋β－] ＝＝＝. 答案： 三　两角和与差公式的综合应用 [例3] 已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1. (1)求角A； (2)若tan ＝－3，求tan C. 【解】　(1)因为m·n＝1， 所以(－1，)·(cos A，sin A)＝1， 即sin A－cos A＝1， 所以2sin ＝1， 所以sin ＝. 因为0<A<π，－<A－<， 所以A－＝，所以A＝. (2)由tan ＝＝－3， 解得tan B＝2. 又因为A＝，所以tan A＝. 所以tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B) ＝－＝－＝. 两角和与差公式的综合应用是解决三角恒等变换问题的主要方法，合理选择和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式是解题的关键．两角和与差的公式常与其他知识结合考查，如方程、诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角函数的图象、向量、三角形等，要引起重视． [跟踪训练3] 设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且|a|＝|b|. (1)求实数λ的值； (2)若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值． 解：(1)由|a|＝|b|知a2－b2＝0， 所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0. 又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以(λ2－1)sin2α＝0. 因为0<α<， 所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0. 又因为λ>0，所以λ＝1. (2)由(1)知a＝(cosα，sin α). 由a·b＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝， 即cos (α－β)＝. 因为0<α<β<，所以－<α－β<0， 所以sin (α－β)＝－＝－， 所以tan(α－β)＝＝－， 因此tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝. 1．(多选)下列等式中叙述正确的是(　　) A．tan ＝ B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β D．对任意α，β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β 解析：选ABC.tan ＝，A正确； 存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确； 存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确； 对任意α，β(α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z)，tan (α＋β)＝，D不正确． 2．(多选)(教材P99练习BT1改编)计算下列各式，结果为的是(　　) A．sin 15°＋cos 15° B．cos215°－sin15°cos 75° C． D． 解析：选AD.对于A，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝，故A符合题意； 对于B，cos215°－sin15°cos 75°＝sin 75°cos 15°－sin 15°cos 75°＝sin (75°－15°)＝sin 60°＝，故B不符合题意； 对于C，＝＝，故C不符合题意； 对于D，＝＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D符合题意．故选AD. 3．(2025·日照月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 解析：由题知cos β＝，β为锐角， 故sin β＝＝， 故tan β＝＝＝， 故tan (α＋β)＝＝＝1， 又α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)， 故α＋β＝. 答案： 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求：(1)tan (α＋β)的值； (2)tan (α＋2β)的值． 解：(1)由条件得cos α＝，cos β＝. 因为α，β为锐角， 所以sin α＝＝， sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tan β＝＝. 所以tan (α＋β)＝＝＝－3. (2)由(1)知tan (α＋β)＝－3，tan β＝， 所以tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β] ＝＝＝－1. 1．已学习：两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用；给值求值、给值求角． 2．须贯通：利用两角和与差的正切公式求值(化简)时，关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异，弄清已知角与所求角之间的关系，恰当的运用拆角、拼角技巧，化异角为同角． 3．应注意：(1)两角和与差的正切公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $