8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．求值：sin 735°＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.sin 735°＝sin (360°×2＋15°)＝sin 15°＝sin (60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝×(－)＝. 故选A. 2．求值：sin 65°cos 35°－cos 65°cos 55°＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C.sin 65°cos 35°－cos 65°cos 55°＝sin 65°cos 35°－cos 65°cos (90°－35°)＝sin 65°cos 35°－cos 65°sin 35°＝sin (65°－35°)＝sin 30°＝. 3．已知sin (α－)＝，则的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由sin (α－)＝， 得(sin α－cos α)＝， 所以sin α－cos α＝， 所以1－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝， 所以＝＝＝－，故选A. 4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B ＝cos B＋sin B ＝(cos B＋) ＝×(＋)＝. 5．(2025·威海月考)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．经研究，黄金分割比t＝≈0.618还可以表示成2sin18°，则＋tan 12°＝(　　) A．4 B．2 C．1 D． 解析：选C.由题意知，t＝2sin 18°， 则＋tan 12°＝ ＝ ＝ ＝＝1. 6．(多选)(2025·德州期末)已知锐角α，β满足＝sin (2α＋β)，则下列选项正确的是(　　) A．sin 2α＝sin β B．sin 2α＝cos β C．cos 2α＝sin β D．cos 2α＝－cos β 解析：选BC.由题意，得sin [(2α＋β)＋α]＝sin (2α＋β)cos α＋cos (2α＋β)sin α＝sin (2α＋β)cos α，所以cos (2α＋β)sin α＝0.又α，β是锐角，故sin α≠0，所以cos (2α＋β)＝0，因为0<2α＋β<，所以2α＋β＝，即2α＝－β，所以sin 2α＝cos β，cos 2α＝sin β. 7.＝________． 解析： ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 答案： 8．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． 解析：＝sin 15°－cos 15° ＝2(sin 15°－cos 15°) ＝2sin (15°－45°)＝2sin (－30°)＝－1. 答案：－1 9．已知α，β满足0<α<，<β<，cos (＋α)＝，sin (＋β)＝，则sin (α－β)＝_________________________________________________________. 解析：因为0<α<，则<α＋<， 因为<β<，则<β＋<π， 所以sin (＋α)＝＝， cos(＋β)＝－＝－， 则sin(α－β)＝sin ＝sin (α＋)cos (β＋)－cos (α＋)sin (β＋) ＝×(－)－×＝－. 答案：－ 10．(13分)化简下列各式： (1)sin ＋2sin －cos ；(6分) (2)－2cos (α＋β).(7分) 解：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋(－＋)cos x＝0. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 11．在△ABC中，若sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)·sin (A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°角的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 解析：选D.因为sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)sin (A＋C)，所以sin A cos B－cos A sin B＝1－2cos A sin B，所以sin A cos B＋cos A sin B＝1，即sin (A＋B)＝1，所以sin C＝1，又0<C<π，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，故选D. 12．已知函数f(x)＝cos x－cos ，x∈，则f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．0 解析：选B.f(x)＝cos x－cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin ， 因为x∈，所以x＋∈， 所以当x＋＝－， 即x＝－时，f(x)min＝－. 13．若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝________． 解析：由题意知α＋β＝－， 所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β ＝cos (α＋β)－sin (α＋β) ＝2 ＝2sin ＝2sin ＝2sin ＝. 答案： 14．(13分)(2025·大连月考)在平面直角坐标系中，角α，β(0＜α＜＜β＜π)的终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，. (1)求tan β的值；(5分) (2)求的值．(8分) 解：(1)依题意知，yA＝，yB＝， 且α∈，β∈， 所以xA＝＝， xB＝－＝－. 所以tan β＝＝＝－. (2)由(1)得sin α＝yA＝，cos α＝xA＝，sin β＝yB＝，cos β＝xB＝－， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－， 则 ＝ ＝＝. 15.(15分)已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＋cos 2x＋a(a∈R，a为常数). (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(7分) (2)当x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．(8分) 解：(1)因为f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＋cos 2x＋a＝2sin 2x cos ＋cos 2x＋a ＝sin 2x＋cos 2x＋a ＝2sin (2x＋)＋a， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故f(x) 的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z). (2)当x∈时，2x＋∈， 所以当2x＋＝， 即x＝时，f(x)取得最小值． 所以2sin ＋a＝－2， 所以a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $