8.1.3 向量数量积的坐标运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标运算核心知识点，衔接前期向量数量积几何意义及坐标运算基础，通过单位向量i、j推导数量积坐标公式，构建从代数运算到模、夹角、垂直问题解决的学习支架。 资料以问题链驱动探究，如通过i·i、i·j推导公式培养数学思维，例题结合矩形顶点求法、三角形面积计算发展数学语言表达。课中例题与跟踪训练助教师高效授课，课后练习题及拓视野内容助力学生查漏补缺，深化理解。

8．1.3　向量数量积的坐标运算 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其几何意义，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2．能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3．能够利用坐标判断向量的垂直关系． 一　向量数量积的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. [知识梳理] 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 [例1] (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】　(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4. 【答案】　(1)B　(2)C 向量数量积运算的途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算． [跟踪训练1] (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3. (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选A.由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5. 二　向量模的坐标表示 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若向量a＝(x，y)，借助于公式|a|＝＝，如何用坐标表示|a|? 提示：|a|＝＝＝ ＝. [知识梳理] 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝ 表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ __ [例2] (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知，均为单位向量，且＋2＝(1，1)，则||＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)， 所以a－2b＝(－3，－4)， 所以|a－2b|＝＝5.故选D. (2)因为＋2＝(1，1)，所以(＋2)2＝2， 所以2＋42＋4·＝2. 因为向量，均为单位向量， 所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－， 所以||＝|－|＝＝＝. 【答案】　(1)D　(2)C 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [跟踪训练2] (1)已知A，B，C是平面直角坐标系上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：选C.||＝＝， ||＝＝. 又||＝＝， 所以||＝||，且||2＋||2＝||2， 因此△ABC为等腰直角三角形． (2)(2025·抚顺月考)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，0)，|a＋tb|＝3，则t＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.因为a＝(2，3)，b＝(1，0)，所以a＋tb＝(2，3)＋(t，0)＝(2＋t，3)，因为|a＋tb|＝3，所以＝3，即(2＋t)2＝0，解得t＝－2. 三　向量夹角与垂直问题 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. [知识梳理] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)cos 〈a，b〉＝＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． [例3] 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为，则实数k＝________． 【解析】　cos ＝＝， 即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或k＝3. 【答案】　－或3 母题探究　将本例的“夹角为”改为“夹角为锐角”，求实数k的取值范围． 解：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不同向．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，由a，b不同向得k≠，所以实数k的取值范围是(－2，)∪(，＋∞). [例4] 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________． 【解析】　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2).因为点D在直线BC上，即BD与BC共线，所以存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，所以所以x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.① 又因为AD⊥BC，所以·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，所以－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.② 由①②可得 即点D的坐标为(1，1)，＝(－1，2)， 所以||＝＝. 综上，D(1，1)，||＝. 【答案】　(1，1)　 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． (2)利用|a|＝计算出这两个向量的模． (3)由公式cos θ＝直接求出cos θ 的值． (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. [跟踪训练3] (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：选C.由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. (2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)， 因为a⊥(2a－b)， 所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0， 解得m＝－3，则b＝(－3，1). 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. 答案： 四　向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用 [例5] (对接教材例5)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值． 【解】　(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，则＝(1，1)，＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD. (2)因为⊥，四边形ABCD为矩形， 所以＝，设点C的坐标为(x，y)， 则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)， 得解得 所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)， 且||＝2，||＝2.·＝8＋8＝16， 则cos 〈，〉＝＝＝， 所以矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 [跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). (1)＝(－1，2)，＝(－2，－1). 所以·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， 所以⊥，即BE⊥CF. (2)设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－1)，＝(2，1)，因为∥， 所以x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥得y＝－2x＋4， 由得 所以点P的坐标为. 所以||＝＝2＝||， 即AP＝AB. 拓视野 向量的数量积与三角形的面积 平面向量的概念与坐标运算，给我们解决数学问题带来了全新的视角．用向量的视角来解读和诠释平面几何问题能给我们带来不一样的精彩．下面简单地介绍三角形面积的向量坐标公式及其在解题中的应用． 定理：在△OAB中，已知点O(0，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|. 证明：如图所示，记t＝||，a＝(－y1，x1)，则a是与垂直的单位向量． 过B作OA的垂线BC，因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知||＝|a·|， 因此，△OAB的面积为 S＝||×||＝||×|a·| ＝t×|(－y1，x1)·(x2，y2)| ＝|(－y1，x1)·(x2，y2)| ＝|x1y2－x2y1|. 推论：在△ABC中，若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△ABC＝|x1y2－x2y1|. 证明：设O为原点，作＝，＝(图略)，则P(x1，y1)，Q(x2，y2)，△ABC与△OPQ全等，所以S△ABC＝S△OPQ＝|x1y2－x2y1|. [典例] 已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).求平行四边形ABCD的面积． 【解】　由题意，＝(6，2)，＝(4，4)，所以△ABC的面积为×|6×4－2×4|＝8， 因为平行四边形ABCD的面积是△ABC面积的2倍，所以平行四边形ABCD的面积是16. [练习] 在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10. 解：设点P(x，0)，则＝(2，2)，＝(x－1，－2)，所以△ABP的面积为×|2×(－2)－2×(x－1)|＝10，从而|x＋1|＝10，解得x＝9或x＝－11，故P(9，0)或P(－11，0). 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B.a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0. 2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝(　　) A．23 B．57 C．63 D．83 解析：选D.3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D. 3．(教材P89练习AT1改编)已知向量a＝(，1)，b＝(－，1)，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.cos 〈a，b〉＝＝＝－， 因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.故选C. 4．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y).若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则||＝________． 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)， 所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y). 因为(a＋b)⊥(b－c)， 所以(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4. 则M(4，－4)，N(－4，4)， 所以向量＝(－8，8)，||＝8. 答案：8 5．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________． 解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)， 所以2a－b＝(－3，6－m). 由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7. 答案：7 1．已学习：平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题． 2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、夹角及模长等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式； (2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况． 学科网（北京）股份有限公司 $