8.1.2 向量数量积的运算律（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量数量积的运算律这一核心知识点，通过类比实数乘法及向量加法、数乘运算律引入，系统梳理交换律、数乘结合律、分配律，延伸至向量模、夹角计算及垂直关系判断，构建从运算律到几何应用的完整学习支架。 该资料设计注重通过即时练辨析运算律易错点，如判断“若a·b=a·c则b=c”等错误认知，例题结合平方求模、数量积求夹角培养推理能力（数学思维），几何证明题（如证明AD⊥CE）用向量语言表达几何关系（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

8．1.2　向量数量积的运算律 新课导入 学习目标 　　我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，可以得到数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？数量积还能解决哪些问题呢？ 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算． 2．理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 一　向量数量积的运算律 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μ a)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考　向量的数量积是否也满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律． [知识梳理] 1．平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b＝b·a 数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c， (a－b)·c＝a·c－b·c 2.向量数量积的常用结论 (1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； (2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)； (4)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) (2)对于非零向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c).(　　) (3)对于任意两个非零向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　) (4)·＋·＝·(＋)＝·.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝1，则a·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.因为|a|＝2，a·b＝1，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝6. 3．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝________． 解析：由单位向量e1，e2的夹角为60°， 得e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝， 所以(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－. 答案：－ 4．(2025·日照期末)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝2，OC＝4.若·＝－5，则·＝________． 解析：由O为BD的中点可知＋＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)－2＝2－2＝－5，又OA＝2，则有OB＝3，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝16－9＝7. 答案：7 向量数量积运算的两个关键点 (1)含向量线性运算的数量积求解：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； (2)含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解． 二　求向量的模和夹角 角度1　向量模的计算 [例1] (1)(对接教材例2)已知向量a，b，若|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则|2a＋b|＝(　　) A．1 B． C．2 D． (2)已知非零向量a，b满足|a|＝3＋，|b|＝3－，且|a＋b|＝2，则|a－b|＝________． 【解析】　(1)因为|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，所以a·b＝－.故|2a＋b|2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4×12＋12＋4×＝3，因此|2a＋b|＝.故选B. (2)|a＋b|＝2两边平方得a2＋2a·b＋b2＝24， 即12＋6＋2a·b＋12－6＝24， 所以a·b＝0. 所以|a－b|＝＝ ＝＝2. 【答案】　(1)B　(2)2 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 角度2　求两向量的夹角 [例2] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a－b|＝2，求向量a，b的夹角． 【解】　由|2a－b|＝2， 得|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝12， 即4－4×1×2cos 〈a，b〉＋4＝12， 则cos 〈a，b〉＝－， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 母题探究　本例条件不变，求向量3a＋b与a的夹角的余弦值． 解：(3a＋b)·a＝3a2＋a·b＝3＋1×2×cos ＝3－1＝2，|3a＋b|＝＝＝＝， 所以cos 〈3a＋b，a〉＝＝＝. 求向量夹角的基本步骤 [跟踪训练1] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选A.因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，则||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2××2×cos ＋4)＝4.即||＝2. (2)已知|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则向量a与b的夹角的余弦值是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B.因为|a|＝，|b|＝1， 且(a－2b)⊥(2a＋b)， 所以(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝4－2－3a·b＝0，所以a·b＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝. 三　与垂直有关的问题 [例3] 已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(x a＋b)⊥b，求实数x的值． 【解】　由4|a|＝3|b|， 可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t. 因为(x a＋b)⊥b， 所以(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2 ＝x×3t×4t×＋(4t)2＝4t2(x＋4)＝0， 又t>0，所以x＝－4. 母题探究　本例中将“(x a＋b)⊥b”改为“x a＋b与b的夹角为锐角”，其余条件不变，求实数x的取值范围． 解：设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t， 则(x a＋b)·b ＝x a·b＋|b|2 ＝4t2(x＋4)>0，解得x>－4， 若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b， 所以m＝1，x＝0. 此时实数xa＋b与b同向，不符合题意． 所以实数x的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞). 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b ⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合向量的模、夹角相关的知识解题． [跟踪训练2] 已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为.当实数k为何值时，(a＋kb)⊥(a－b). 解：由已知得a·b＝|a||b|cos ＝4×8×＝－16， 因为(a＋kb)⊥(a－b)， 所以(a＋kb)·(a－b)＝a2＋(k－1)a·b－kb2＝16－16(k－1)－64k＝0， 即2－5k＝0，解得k＝. 四　向量在平面几何中的应用 [例4] (对接教材例4)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 【证明】　·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝－||2＋·＋· ＝－||2＋||2＋||2＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. 利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解． [跟踪训练3] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋b2 ＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝.设a，b的夹角为θ，即cos θ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.故选A. 3．(2025·德州月考)已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，若a⊥(λa－b)，则实数λ＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选A.因为a·(λa－b)＝λa2－a·b＝4λ－2××cos 30°＝0，所以4λ＝3，解得λ＝. 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋2b|＝|a－b|，则|a＋b|＝________． 解析：由|a＋2b|＝|a－b|，得a2＋4a·b＋4b2＝a2－2a·b＋b2，整理得b2＋2a·b＝0，所以|a＋b|＝＝＝＝2. 答案：2 5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝____________；a在 a＋b上的投影的数量为________． 解析：因为|a－2b|＝2|a＋b|，所以a2－4a·b＋4b2＝4a2＋8a·b＋4b2.因为|a|＝2，|b|＝1，所以4＋4＝16＋4＋12a·b，解得a·b＝－1，所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.又因 为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4－2＋1＝3，所以|a＋b|＝，所以a在a＋b上的投影的数量为＝＝＝. 答案：　 1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直及向量在几何中的应用． 2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法． 3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 学科网（北京）股份有限公司 $