第8章 8.1.3 向量数量积的坐标运算（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标运算核心知识点，通过基底表示推导数量积公式a·b=x1x2+y1y2，梳理垂直条件x1x2+y1y2=0、模长公式|a|=√(x²+y²)及夹角公式，构建“推导—结论—应用”的学习支架，衔接前后知识。 资料以逻辑推理推导公式培养数学思维，结合坐标系实例（如矩形中坐标法证垂直）发展几何直观，设判断题、易错辨析强化严谨性。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 学业标准 学科素养 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(重点) 2．能利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直等问题．(重点、难点) 1.通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过数量积的坐标运算，提升数学运算等核心素养． 导学1 向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量． 　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b. [提示]　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 　若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？ [提示]　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ◎结论形成 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直的充要条件 a·b＝x1x2＋y1y2＝0 导学2 向量的模长及夹角公式 　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示． [提示]　∵a＝x i＋yj，x，y∈R， ∴a2＝(x i＋yj)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝. 　若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？ [提示]　∵＝－＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)， ∴||＝. ◎结论形成 条件 结论 向量的模 a＝(x，y) |a|＝ 两点间的 距离 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量 ||＝ 两向量的 夹角 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) cos 〈a，b〉＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，x2)，则a·b＝x1y2＋x2y1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　由题意得cos ∠ABC＝ ＝＝， 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 答案　A 3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A． B． C． D． 解析　＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)， 所以||＝＝5，因此与向量同方向的单位向量为＝. 答案　A 4．设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝ ． 解析　因为a⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5. 答案　5 题型一　向量数量积的坐标运算 　(1)已知a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·等于 ． (3)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是 ． [解析]　(1)a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2 ＝25－(－4＋6)＋5＝28.故选C. (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)， 得·＝(2，1)·(3，－1)＝5. (3)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0). 设F(t，2)，(0＜t≤)， 由·＝得t＝， ∴t＝1，即F(1，2)， ∴＝(1－，2)，＝(，1)， 即·＝－2＋2＝. [答案]　(1)C　(2)5　(3) 关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中，注意数量积运算律的应用，强调先化简再代入坐标运算． (2)注意平面向量基本定理的应用，利用已知坐标的向量表示未知向量后计算． (3)在特殊图形中，如等腰三角形、矩形、正方形等可以通过建立直角坐标系，表示出向量的坐标后计算．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·广东深圳期中)设a＝，b＝，c＝，则·c＝(　　) A．－2 B．1 C．－6 D．－7 (2)在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝2，点P在CD边上，满足 ·＝6，则·＝(　　) A．－ B．0 C． D． 解析　(1)因为a＝(2，－1)，b＝，所以a＋2b＝，又c＝(1，－2)，所以(a＋2b)·c＝－4×1＋1×(－2)＝－6，故选C. (2)如图建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，2)，D(0，2)，设P(x，2)(0≤x≤4)，则＝，＝，所以·＝4x＝6，得x＝，所以＝，＝， 所以·＝－＋4＝. 答案　(1)C　(2)C 题型二　向量的夹角(垂直)、模长问题 角度1　向量的模的问题 　[教材例1提升](1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，则＝(　　) A． B．4 C． D．6 (2)已知向量a＝(1，m)，b＝(－1，0)，且＝a·b＋6，则＝(　　) A． B．2 C． D．2 [解析]　(1)因为a＝(2，1)，b＝(－1，1)， 所以2a－b＝(5，1)， 所以＝＝，故选C. (2)因为向量a＝(1，m)，b＝(－1，0)， 所以a－b＝(2，m)，a·b＝－1， 又＝a·b＋6，所以＝5， 解得m2＝21， 所以＝＝，故选C. [答案]　(1)C　(2)C 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝.　 角度2　向量的夹角与垂直问题 　(1)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 (2)(2024·湖北黄冈高一期中)已知A(3，－2)，B(－1，－5)，C(1，2)，则cos ∠BAC＝(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　(1)对于 A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． (2)A(3，－2)，B(－1，－5)，C(1，2)， 则＝(－4，－3)，＝(－2，4)， cos ∠BAC＝＝＝－. [答案]　(1)C　(2)B [素养聚焦]　在计算向量的夹角和模长的过程中，提升数学运算核心素养． 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos 〈a，b〉＝＝直接求出cos 〈a，b〉． (2)注意事项：利用三角函数值cos 〈a，b〉求〈a，b〉的值时，应注意角〈a，b〉的取值范围是0°≤〈a，b〉≤180°.利用cos 〈a，b〉＝判断〈a，b〉的值时，要注意cos 〈a，b〉＜0时，有两种情况：一是〈a，b〉是钝角，二是〈a，b〉为180°；cos 〈a，b〉＞0时，也有两种情况：一是〈a，b〉是锐角，二是〈a，b〉为0°.　 [触类旁通] 2．(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)已知向量a＝(0，1)，b＝(x，1)且⊥b，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析　(1)解法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 解法二(坐标法)　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0， 解得x＝2，故选D. (2)因为a＝，b＝， 所以b－2a＝， 又⊥b，所以·b＝0，则x2－1＝0，解得x＝±1，则b＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝. 答案　(1)D　(2)B 题型三　数量积、坐标表示的综合应用 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明]　证法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝(b＋)·(－a＋) ＝－a2－a·b＋ ＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 证法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 向量法解决平面几何问题的两种方法 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法： (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．　 [触类旁通] 3．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为 ． 解析　建立平面直角坐标系如图所示．设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2，0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y). ∴|＋3|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)， 当y＝b时，|＋3|最小， |＋3|min＝5. 答案　5 [缜密思维提能区] 易错辨析 利用〈a，b〉为钝角推得a·b＜0致错 [典例]　设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　) A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． D． [错解]　由a与b的夹角为钝角，得a·b＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－. [错因分析]　a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去． [正解]　a·b＜0⇒(－2，1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－. 又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)， 所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线， 所以λ∈∪(2，＋∞).故选A. [答案]　A [纠错心得] 设a，b均是非零向量 (1)〈a，b〉为锐角是a·b＞0的充分不必要条件． (2)a·b＞0⇔，a·b＜0⇔〈a，b〉∈. 知识落实 技法强化 (1)向量数量积的坐标表示． (2)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇒x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝(θ为非零向量a(x1，y1)，b(x2，x2)的夹角). (4)向量数量积在平面几何中的应用． (1)本节课应用了化归与转化、数形结合的思想方法． (2)两向量夹角的余弦公式易记错． 学科网（北京）股份有限公司 $