第8章 8.1.2 向量数量积的运算律（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的运算律这一核心知识点，系统梳理交换律、结合律、分配律的内容及适用范围，前承数量积定义，后接模、夹角、垂直问题及平面几何应用，构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 该资料通过导学问题（如辨析a·b=b·c是否推出a=c）引导学生抽象运算律本质，结合单位向量夹角计算、垂直判定等例题提升数学运算与逻辑推理素养，易错辨析环节帮助规避常见错误，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识查漏补缺。

8.1.2　向量数量积的运算律 学业标准 学科素养 1.掌握平面向量数量积的运算律，以及运算律的适用范围、与实数乘法运算律的区别．(重点) 2．会应用运算律进行相关的计算或证明．(重点、难点) 1.通过学习数量积的运算律，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数量积的性质、运算律的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． 导学 向量数量积的运算律 　如图所示，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，求a·b，b·a，(2a)·b，a·(2b)的值． [提示]　a·b＝b·a＝18， (2a)·b＝36，a·(2b)＝36， 即(2a)·b＝a·(2b). 　若a，b，c均为非零向量，那么a·b＝b·c⇒a＝c正确吗？ [提示]　不正确． 因为a·b＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b上投影的数量相等，并不能说明a＝c.如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c. 　对于向量非零向量a，b，c，(a·b)c＝(b·c)a成立吗？ [提示]　不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立． ◎结论形成 1．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量数量积的常见运算结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λ(a·b)＝λa·λb.(　　) (2)·＋·＝·(＋)＝· .(　　) (3)若(λa)·b＝0，则a⊥b.(　　) (4)|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是(　　) A.e1在e2方向上的投影为cos θ B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 解析　e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ.故选D. 答案　D 3．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 解析　由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D. 答案　D 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与(a－b)的夹角为 ． 解析　|a－b|＝＝＝， 设向量a与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案　 题型一　向量数量积及向量的模 　(1)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝ . (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝ ． (3)已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①(a＋b)2；②a2－b2；③(a－2b)·(a＋b). [解析]　(1)∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1， ∴(a＋b)2＝1. ∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝. (2)因为|2a＋b|＝， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去). (3)①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16－8＋4＝12. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－4＝12. ③(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2 ＝a2－a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2 ＝16＋4－8＝12. [答案]　(1)　(2)　(3)略 1．已知模、夹角的向量数量积运算 一是注意数量积运算律的应用；二是注意利用向量的加减法合并向量．上述的两个方面都可以起到简化运算的作用． 2．求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方； (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·云南昭通期中)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则·e2＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 (2)(2025·山东临沂月考)已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于(　　). A． B． C． D． 解析　(1)因为单位向量e1，e2的夹角为60°， 所以·e2＝2e1·e2－e＝2|e1|·|e2|cos 60°－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，故选B. (2)因为|a＋b|＝，所以2＝19，即a2＋2a·b＋b2＝19，所以2a·b＝6，则|a－b|＝＝＝＝. 答案　(1)B　(2)A 题型二　向量的夹角与垂直问题 角度1　求两个向量的夹角 　已知向量a，b满足＝2，＝，a·b＝－2，设a与(a＋b)的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　因为＝2，＝，a·b＝－2， 所以＝＝＝＝， a·＝a2＋a·b＝22－2＝2，所以cos θ＝＝＝，故选C. [答案]　C 角度2　与向量垂直有关的问题 　(2024·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 [解析]　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0， 即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝. [答案]　B 1．求向量夹角在应用数量积的变形公式cos θ＝时，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． 2．非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．　 [触类旁通] 2．(2025·湖南长沙期中)设λ∈R，已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝，且⊥a，则λ＝(　　) A． B． C．2 D．2 解析　由⊥a得·a＝λb·a－a2＝2××λ－4＝0，解得λ＝2. 答案　C 题型三　向量数量积在平面几何中的应用 　[教材例3提升]如图，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC. [证明]　如图所示，设＝a，＝b， ＝c，＝d，＝e， 则a＝c＋e，① b＝c＋d.② ∵AB2－AC2＝DB2－DC2， 即|a|2－|b|2＝|e|2－|d|2， ∴a2－b2＝e2－d2. 将①②代入上式，得(c＋e)2－(c＋d)2＝e2－d2， 即c2＋2c·e＋e2－c2－2c·d－d2＝e2－d2， 得c·(e－d)＝0. 又∵＝＋＝－e＋d＝－(e－d)， ∴·＝c·[－(e－d)]＝－c·(e－d)＝0. ∴⊥，即AD⊥BC. [素养聚焦]　数量积在平面几何的应用过程中，体现了逻辑推理、数学运算核心素养． 利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是选取合适的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将涉及的向量用基底表示；二是进行向量运算；三是还原为几何结论．　 [触类旁通] 3．四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？ 解析　四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.② 由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|， 即四边形ABCD的两组对边分别相等． ∴四边形ABCD是平行四边形． 另一方面：由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0， 而由平行四边形ABCD可得a＝－c， 代入上式得b·(2a)＝0， 即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC， 综上所述，四边形ABCD是矩形． [缜密思维提能区] 易错辨析 向量数量积的运算律掌握不准致错 [典例]　已知a，b都是非零向量，且(a＋3b)与(7a－5b)垂直，(a－4b)与(7a－2b)垂直．求a与b的夹角． [错解]　由题意，得 即 ①－②，得46a·b＝23b2，即2a·b＝b2. 因为b≠0，所以a＝b， 把它代入②，得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. [错因分析]　在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与b2是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合． [正解]　因为a＋3b与7a－5b垂直， 所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0. 同理由a－4b与7a－2b垂直可得 7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0， 则 ①－②，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2， 代入①，得|a|2＝|b|2.所以|a|＝|b|. 设a，b夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 所以θ＝60°. [纠错心得] 实数中的有些运算在向量中是不成立的，求解问题时应注意区分．如|a·b|≠|a||b|；(a·b)2≠a2b2等． 知识落实 技法强化 (1)向量数量积的运算律． (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模． (1)本节课应用了数形结合、转化与化归的思想方法． (2)注意不要忽视向量数量积不满足结合律． 学科网（北京）股份有限公司 $