8.1.1 向量数量积的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的数量积核心知识点，从物理功的概念引入，依次构建向量夹角的定义与计算，数量积的概念及公式，性质（如垂直的充要条件、模的计算），投影的概念及数量等学习支架，形成完整知识脉络。 该资料以物理情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过即时练、例题及几何直观分析，发展抽象能力与推理意识。课中辅助教师引导概念理解，课后练习助力学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 新课导入 学习目标 在初中物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角． 2．理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积． 3．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 一　两个向量的夹角 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． [知识梳理] 1．给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)〈a，b〉的取值范围是[0，π]. (2)〈a，b〉＝〈b，a〉． 2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直． 点拨　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的夹角的范围是[0，].(　　) (2)若非零向量a，b互相垂直，则它们的夹角为90°.(　　) (3)两个非零向量a，b的夹角为π时，这两个向量是相反向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．已知单位向量e1与e2的夹角为，则〈2e1，－3e2〉＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.向量e1与向量2e1方向相同， 向量e2与向量－3e2方向相反，故〈e1，e2〉与〈2e1，－3e2〉互补，即〈2e1，－3e2〉＝. 3．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________；a－b与a的夹角是________． 解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 答案：30°　60° (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 二　向量数量积的定义 思考　两个非零向量的数量积的结果是什么？ 提示：两个非零向量的数量积a·b是一个实数．既可以是正数，也可以是0，还可以是负数． [知识梳理] 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉. 点拨　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”． (2)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0. [例1] (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b； (2)已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·. 【解】　(1)由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4. (2)①因为与的夹角为60°， 所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝. ②因为与的夹角为120°， 所以·＝||||·cos 120°＝1×1×(－)＝－. ③因为与的夹角为60°， 所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝. 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． [跟踪训练1] (1)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 解析：选D.m·n＝|m||n|cos 120°＝4×6×cos 120°＝24×＝－12.故选D. (2)已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：选D.由题得||2＝||2＋||2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 三　向量数量积的性质 [知识梳理] 1．|a·b|≤|a||b|. 2．a·a＝|a|2，即|a|＝，a2＝|a|2. 3．a⊥b⇔a·b＝0. 4．如果a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝. [例2] (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题为真命题的是(　　) A．|a·b|＝|a||b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| (2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________． 【解析】　(1)A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，故C是真命题；D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题． (2)由题意，得cos 〈a，b〉＝＝＝－1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π. 【答案】　(1)ABC　(2)π 求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值时一般采用夹角公式cos θ＝.根据题中条件可求出|a|，|b|和a·b，从而可得cos θ及θ.确定θ时要注意θ∈[0，π]；当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝. [跟踪训练2] 已知|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设向量a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝－， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 四　向量的投影与向量数量积的几何意义 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|. 提示：|OD|＝|OA|cos θ. [知识梳理] 1．投影向量 如图，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． 2．投影的数量 一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos__〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． [例3] (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为(　　) A．2 B．－2 C．2b D．－2b (2)已知a·b＝12且|b|＝5，则向量a在向量b上的投影的数量为(　　) A． B． C． D． 【解析】(1)如图所示，＝a，＝b，过A作AA′⊥BO的延长线，垂足为A′， 所以a在b上的投影为， 因为∠AOB＝120°，所以∠AOA′＝60°，OA＝8， 所以OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4， 又|b|＝2.所以＝－2b. (2)因为a·b＝12且|b|＝5，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝.故选A. 【答案】　(1)D　(2)A 投影的数量可正、可负、可为零，其符号取决于两向量之间的夹角，向量的夹角是由两个向量的方向确定的，如在△ABC中，与，与，与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．因此，找准两个向量之间的夹角是关键．确定两个向量的夹角时，一定要注意“共始点”． 常用结论　(1)a在b上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝|a|＝b； (2)b在a上的投影为|b|cos 〈a，b〉＝|b|＝a. [跟踪训练3] (1)在等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F， 在等腰梯形ABCD中，＝2，可得AE＋BF＝DC＝AB， 则AE＝BF＝AB， 故向量在向量上的投影为. (2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为________． 解析：依题意b在a上的投影为|b|cos 〈a，b〉 ＝()＝·＝a. 答案：a 1．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中错误的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 解析：选AB.a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|·cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确． 2．(教材P79T1改编)已知|a|＝，|b|＝2，a与 b的夹角是120°，则a·b＝(　　) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|·cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B. 3．(教材P79T5改编)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影为(　　) A．－b B．－b C．b D．－b 解析：选D.向量a在向量b上的投影是|a|cos 〈a，b〉＝2×cos 120°×＝－b.故选D. 4．(教材P80T1改编)在等边三角形ABC中，边长为2，则·＝____________，·＝____________． 解析：·＝||||cos B＝2×2×＝2，·＝－·＝－||||cos A＝－2×2×＝－2. 答案：2　－2 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同． 学科网（北京）股份有限公司 $