8.1.2 向量数量积的运算律-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的运算律这一核心知识点，系统梳理交换律、数乘结合律、分配律及平方差、完全平方等常用公式。通过联系初中实数乘法运算律引入，结合“若a·b=a·c则b=c是否成立”等辨析问题，构建从旧知到新知的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过辨析深化理解，培养逻辑推理与数学运算素养。例题与分层作业结合，课中助力教师引导学生突破难点，课后帮助学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

8.1.2　向量数量积的运算律 学习任务 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．(逻辑推理) 2．会利用运算律进行向量数量积的运算或证明．(数学运算) 初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题　向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？ [提示]　若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积． 知识点1　两个向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 1．“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ [提示]　不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等． 知识点2　重要公式 平方差公式 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2a·b＋b2 2．根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式： (1)平方差公式：(a＋b)·(a－b)＝________； 向量数量积公式：(a＋b)·(a－b)＝________． (2)完全平方公式：(a±b)2＝________； 向量数量积公式：(a±b)2＝________． [提示]　(1)a2－b2；a2－b2． (2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a·b)·c＝a·(b·c)． (　　) (2)(a·b)2＝a2·b2． (　　) [提示]　(1)向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确． (2)(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2b2cos2θ． [答案]　(1)×　(2)× 2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0　　　B．a　　　C．b　　　D．c B　[b·c＝|b||c|cos45°＝1， 所以a·(b·c)＝a．] 3．已知向量a，b满足＝，且a与b的夹角为，则＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 B　[由＝，且a与b的夹角为， 所以＝2a2＋a·b－b2 ＝2＋cos ＝2×22＋2×＝8．] 类型1　向量数量积的运算律的应用 【例1】　【链接教材P82例1、P83例2】 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b； (2)a2－b2； (3)(2a－b)·(a＋3b)． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3． (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5． (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34． 【教材原题·P82例1、P83例2】 例1　求证： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． 解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a·(a－b)＋b·(a－b) ＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝a·(a＋b)＋b·(a＋b) ＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2． 例2　(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． 解：(1)由题意可知 a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1， 所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝a2＋4a·b＋4b2 ＝4＋4×1＋4×1 ＝12， 因此|a＋2b|＝＝2． (2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2， 因此a·b＝0． 　求向量的数量积的常用结论 (1)a2＝|a|2． (2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则． (3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c． 同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化． [跟进训练] 1．已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． [解]　(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9a·b－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7×cos 120°－6×72 ＝－268． 类型2　向量的夹角与垂直问题 【例2】　(1)已知|a|＝4，|b|＝3，且a，b的夹角为60°，如果(a＋2b)⊥(a－mb)，那么m的值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)已知a，b为单位向量，且＝7，则a与a－b的夹角为(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)C　[(1)由题意可得a·b＝cos 60°＝6， 由(a＋2b)⊥(a－mb)，可得(a＋2b)·(a－mb)＝0， 即a2＋(2－m)a·b－2mb2＝0， 即16＋12－6m－18m＝0，得m＝． (2)因为a，b为单位向量， 由＝7， 所以＝49， 即9a2－30a·b＋25b2＝49， 即9－30a·b＋25＝49，所以a·b＝－． 设a与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝， 又θ∈，所以θ＝．] 　1．求向量夹角问题的两种思路 (1)数量积a·b与模积|a||b|易求，直接用变形公式cos θ＝求值定角． (2)a·b与|a||b|不易求，可寻求两者关系，再用变形公式cos θ＝求值定角． 2．两个向量的夹角与其数量积的关系 (1)a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线． (2)a，b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线． (3)a与b垂直的等价条件是a·b＝0． [跟进训练] 2．(1)已知平面向量a，b是非零向量，＝2，a⊥，则向量b在向量a上的投影的数量为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． (1)A　[∵平面向量a，b是非零向量，＝2，a⊥， ∴a·＝a·a＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，则a·b＝－2． 设a与b的夹角为θ，a·b＝|a||b|cos θ＝－2，则cos θ＝＝－1， ∴b在a上的投影的数量为－1．] (2)[解]　设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝． ∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2e1·e2＝－e1·e2＝1－2－＝－． ∵|a|＝＝＝＝＝， |b|＝＝＝＝ ＝， ∴cos θ＝＝＝－． ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°． 类型3　向量数量积在平面几何证明中的应用 【例3】　(1)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足＝＝，则点O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 (2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． [思路导引]　(1)＝·()＝＝0―→ ⊥，同理⊥⊥． (2)用表示⊥． (1)B　[因为＝， 所以·()＝＝0， 所以⊥，同理⊥⊥， 所以O是△ABC的垂心．] (2)[证明]　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＝－a＋b，＝＝b＋a， 所以＝＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0． 故⊥，即AF⊥DE． [母题探究] (变条件)本例(1)中将条件“＝＝”改为“()·＝()·＝()·”，则O为△ABC的(　　) A．重心　　B．垂心　　C．内心　　D．外心 D　[∵()·＝()·()＝||2－||2， 同理，()·＝||2－||2，()·＝||2－||2， ∴||2－||2＝||2－||2＝||2－||2，∴||＝||＝||， 故O为△ABC的外心，故选D．] 　利用向量法证明几何问题的方法技巧 (1)利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系． (2)进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算． (3)将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等． [跟进训练] 3．如图，圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则＝(　　) A．12 B．－12 C．20 D．－20 B　[由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴＝()·＝＝||||cos ∠BDA－·cos ∠BDC＝－＝4－16＝－12．] 1．(教材P84练习BT3改编)已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2　　　B．3　　　C．5　　　D．－5 C　[因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5．故选C．] 2．在△ABC中，BC＝2，＝8，若D是BC的中点，则AD＝(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 B　[∵D为BC的中点，BC＝2，∴＝－，||＝||＝1，∴＝＝＝－＝－1＝8，∴＝||2＝9， ∴AD＝3．] 3．(教材P84练习BT2改编)已知向量a，b的夹角为，且＝＝1，则＝(　　) A．1 B． C．2 D． A　[＝＝ ＝＝1．] 4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________． 　[因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1，即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．向量的数量积满足哪些运算律？ [提示]　(1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？ [提示]　向量a，b的夹角为锐角，得到a·b＞0；反之，a·b＞0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时，也有a·b＞0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b＜0；反之，a·b＜0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时，也有a·b＜0． 课时分层作业(十五)　向量数量积的运算律 一、选择题 1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° C　[由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cos θ＝1，cos θ＝，又0°≤θ≤180°，∴θ为60°．] 2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 B　[因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．故选B．] 3．已知▱ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则＝(　　) A．2 B．5 C．6 D．8 C　[＝()·() ＝＝＝×42－×32＝6．故选C．] 4．如图，在边长为2的等边△ABC中，E为中线BD的三等分点(靠近点D)，F为BC的中点，则＝(　　) A．1 B．2 C． D．2 A　[在边长为2的等边△ABC中，BD为中线，则BD⊥AC． ＝＝＝－＝＝×2×2×cos 60°＝1．] 5．(多选)△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有(　　) A．a为单位向量 B．b∥ C．a⊥b D．(6a＋b)⊥ ABD　[对于A，因为＝3a， 所以a＝，则|a|＝||＝1，故A正确； 对于B，因为＝3a＋b＝＋b， 所以b＝＝，所以b∥，故B正确； 对于C，a·b＝＝×32×cos ≠0， 所以a与b不垂直，故C错误； 对于D，(6a＋b)·＝()·()＝－＝0， 所以(6a＋b)⊥，故D正确． 故选ABD．] 二、填空题 6．已知向量均为单位向量，且它们两两的夹角均为60°，其中a＝，b＝，则a·b＝________． 0　[由已知得e1·e2＝＝·e2＝1×1×cos 60°＝，∴a·b＝)＝＋e1·e2＋3e3·e2＝1－2－1＋＝0．] 7．已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 　[法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2， 则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2， 整理得a2－2a·b＝0， 又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3， 则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝． 法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b， 由题意可得(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2， 整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝．] 8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，则a在b上的投影的数量为________． 　3　[∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝， 则a在b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝3．] 三、解答题 9．已知单位向量e1，e2，e1与e2的夹角为． (1)求证：⊥e2； (2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且＝，求λ的值． [解]　(1)证明：因为＝＝1，e1与e2的夹角为，所以·e2＝＝2cos ＝2×1×1×－12＝0， 所以⊥e2． (2)由＝得＝， 即＝0． 因为＝＝1，e1与e2的夹角为， 所以＝＝1，e1·e2＝1×1×cos ＝， 所以×1＋－3×1＝0， 即λ2＋λ－6＝0．所以λ＝2或λ＝－3． 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 B　[因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0， 即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．] 11．(多选)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．a*b＝b*a B．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R) C．(a＋b)*c＝a*c＋b*c D．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1 AD　[对于A，当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a；当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A正确；对于B，当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B错误；对于C，当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；对于D，当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1；当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．故选AD．] 12．在△ABC中，AC＝2，C＝90°，B＝30°，则||＝________，＝________． 4　－4　[在△ABC中，AC＝2，C＝90°，B＝30°， 则A＝60°，AB＝4，BC＝2，则＝＝＝＝4，＝－＝－2×4×＝－4．] 13．已知△ABC满足＝，则△ABC的形状一定是________． 直角三角形　[由＝，得＋()＝0， 所以·()＋·()＝0， 所以＝0，所以·()＝0， 所以＝0， 所以⊥，即BC⊥AC， 所以△ABC是直角三角形．] 14．如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ． (1)若λ＝，用向量表示； (2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求的取值范围． [解]　(1)∵＝，∴＝)， ∴＝，即＝． (2)＝||||cos 60°＝6． ∵＝λ， ∴＝λ()，(1＋λ)＝＋λ， ∴＝． ∵＝， ∴＝·() ＝－＋＋ ＝＝＝3－． ∵λ＞0，∴3－∈(－10，3)． ∴的取值范围是(－10，3)． 15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． [解]　由题意得，e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝2×1×＝1．当2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则 所以 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝<0， 所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简得2t2＋15t＋7<0． 解得－7<t<－． 所以所求实数t的取值范围是 ． 12/13 学科网（北京）股份有限公司 $