7.3.4 正切函数的性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.3.4 正切函数的性质与图象 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　正切函数的图象与性质 解析式 y=tan x 图象 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 最小正周期 π 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增 对称性 对称中心(k∈Z) |微|点|助|解| (1)正切函数在定义域上不具备单调性,但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数,不能说函数在其定义域内是单调递增函数. (2)正切函数无单调递减区间,在每一个区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间. (3)正切曲线在x轴上方的部分下凸,在x轴下方的部分上凸,画图时,要注意曲线的光滑性及凹凸性. (4)正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的,这些平行直线也称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. (　　) (2)正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ+(k∈Z). (　　) (3)若x是第一象限角,则y=tan x是增函数. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.函数y=tan的最小正周期是 (　　) A.π B.2π C. D. 解析:选C　最小正周期为T==. 3.函数y=-tan x的单调递减区间是　　　　.  解析:因为y=tan x与y=-tan x的单调性相反, 所以y=-tan x的单调递减区间为(k∈Z). 答案:(k∈Z) 4.函数y=tan的定义域为　　　　.  解析:由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,所以函数的定义域为. 答案: 题型(一)　正切函数的定义域和值域 [例1]　(1)函数y=的值域是 (　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,+∞) (2)函数y=3tan的定义域为　　　　.  解析:(1)当-<x<0时,-1<tan x<0, ∴<-1;当0<x<时,0<tan x<1, ∴≥1.即当x∈∪时, 函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)要使函数有意义应满足-≠kπ+,k∈Z,得x≠-4kπ-,k∈Z. 所以函数的定义域为. 答案:(1)B　(2) |思|维|建|模| 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. (3)处理正切函数值域问题时,应注意正切函数自身值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解. 　　[针对训练] 1.函数y=tan的定义域是 (　　) A.,k∈Z　 B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选A　函数y=tan中,-2x≠+kπ,k∈Z.解得x≠--,k∈Z,即定义域为,k∈Z. 2.函数y=2tan,x∈的值域是 (　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析:选C　对于函数y=2tan,∵x∈,∴x-∈,∴y=2tan∈,故选C. 题型(二)　正切函数的周期性、奇偶性及对称性 [例2]　(1)函数f(x)=tan的周期为　　　　.  (2)已知函数y=tan,则该函数图象的对称中心坐标为　　　　.  解析:(1)法一:定义法　∵tan=tan,即tan=tan, ∴f(x)=tan的周期是. 法二:公式法　f(x)=tan的周期T=. (2)由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为(k∈Z). 答案:(1)　(2)(k∈Z) |思|维|建|模| 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=. (3)观察法(图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. [提醒]　y=tan x,x≠kπ+,k∈Z的对称中心坐标为,k∈Z. 　　[针对训练] 3.若函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是 (　　) A.0 B. C.1 D. 解析:选D　∵f(x)=tan ωx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长度即为函数的周期, ∴该函数的周期是,∴=(ω>0),解得ω=4, ∴f(x)=tan 4x,∴f=tan=tan=. 4.(多选)下列关于函数f(x)=tan的相关性质的命题,正确的有 (　　) A.f(x)的定义域是 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z) D.f(x)的对称中心是(k∈Z) 解析:选AC　令2x+≠+kπ(k∈Z),解得x≠+(k∈Z),则函数y=f(x)的定义域是,A正确; 函数y=f(x)的最小正周期为,B错误; 令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z),解得-<x<+(k∈Z), 则函数y=f(x)的单调递增区间是(k∈Z),C正确; 令2x+=(k∈Z),解得x=-(k∈Z), 则函数y=f(x)的对称中心为(k∈Z),D错误. 5.函数y=sin x+tan x是　　　函数.(填“奇”或“偶”)  解析:定义域为,关于原点对称,∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),∴函数是奇函数. 答案:奇 题型(三)　正切函数的单调性及其应用 [例3]　(1)(多选)下列是函数y=tan的单调递增区间的为 (　　) A. B. C. D. (2)tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为　　　　.  解析:(1)令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,可得kπ-<x<kπ+,k∈Z. 函数y=tan的单调递增区间为,k∈Z,令k=0,函数y=tan的单调递增区间为,B正确; 令k=1,函数y=tan的单调递增区间为,C正确. (2)y=tan x在区间上是增函数, 且tan 1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<, 所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 答案:(1)BC　(2)tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 |思|维|建|模| 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ(k∈Z)即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 　　[针对训练] 6.已知函数y=tan ωx在区间上是减函数,则ω的取值范围为 (　　) A.(0,1] B.[-1,0) C.[1,+∞) D.(-∞,-1] 解析:选B　因为y=tan x在上单调递增,所以易知ω<0.又y=tan ωx(ω<0)在上是单调递减的,所以其最小正周期T=≥π,综上,ω的取值范围为-1≤ω<0. 7.y=的单调递增区间为　　　　.  解析:对于函数y=,令kπ<x+<kπ+,k∈Z.得kπ-<x<kπ+,k∈Z.可得函数的单调递增区间为,k∈Z. 答案:,k∈Z 8.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小. (1)tan与tan; (2)tan 1 519°与tan 1 493°; (3)tan 6π与tan; (4)tan与tan. 解:(1)tan=-tan,tan=-tan.∵0<<<,且y=tan x在上为增函数,∴tan<tan,∴tan>tan. (2)tan 1 519°=tan(4×360°+79°)=tan 79°,tan 1 493°=tan(4×360°+53°)=tan 53°. ∵0°<53°<79°<90°,且y=tan x在上为增函数,∴tan 53°<tan 79°,即tan 1 519°>tan 1 493°. (3)tan 6π=tanπ,tan=tanπ.∵<π<π<π,且y=tan x在上为增函数,∴tanπ<tanπ,即tan 6π>tan. (4)tan=tan=tan.∵-<-<<,且y=tan x在上为增函数, ∴tan<tan,即tan<tan. 题型(四)　正切函数图象与性质的综合应用 [例4]　设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,因为ω>0,所以ω=2.从而f(x)=tan(2x+φ),因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z.即φ=+,k∈Z.因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan.令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得-+kπ<2x<kπ+,k∈Z,即-+<x<+,k∈Z.所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间. (2)由(1)知,f(x)=tan.由-1≤tan≤,得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤的解集为. |思|维|建|模| 确定函数f(x)=Atan(ωx+φ)解析式的方法 (1)先确定函数的最小正周期,然后利用周期公式T=确定ω; (2)代入相关点确定出A和φ; (3)确定f(x)的解析式. 　　[针对训练] 9.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期为,且f=1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)函数y=g(x)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移λ(λ>0)个单位得到,若g=-f(0),求λ的最小值. 解:(1)因为T==,且ω>0,解得ω=. 又因为f=tan=1,所以+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,且|φ|<,可得φ=,所以f(x)=tan. (2)由题意可知g(x)=tan.因为-f(0)=-tan=tan,g=-f(0),所以tan=tan,则λ+=-+kπ,k∈Z,解得λ=-+,k∈Z.又λ>0,所以λ的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $