7.4 数学建模活动：周期现象的描述（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角函数描述周期现象这一核心知识点，从昼夜交替等周期现象实例导入，系统梳理三角函数模型y=A sin(ωx+φ)+b中参数A、ω、φ的物理意义与确定方法，构建从观察现象到建立模型再到解决实际问题的学习支架。 该资料以弹簧振子、游客数量、海浪高度等真实情境案例为载体，通过问题链引导学生用数学眼光发现周期规律，在参数分析中发展数学思维，以模型应用培养数学语言表达能力。课中助力教师清晰呈现建模过程，课后跟踪训练与练习题帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

7．4　数学建模活动：周期现象的描述 新课导入 学习目标 　　现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质可以解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题． 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 一　三角函数在物理学中的应用 一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间对应数据绘制成简图如图所示． 思考1　若用函数y＝A sin (ωt＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<π，来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？ 提示：y＝20sin (t－). 思考2　函数y＝A sin (ωt＋φ)中的参数A，ω，φ对其图象有怎样的影响？ 提示：A影响函数的最值，ω影响函数的周期，φ决定函数的初始位置． [知识梳理] 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞)中参数的物理意义 [例1] 已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 【解】　(1)由题图可知A＝300， 设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2×＝， 所以ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0， 即sin ＝0， 而|φ|<，所以φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin . (2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， 所以ω≥300π>942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [跟踪训练1] 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为 ． 解析：由题中图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π. 答案：400π 二　已知三角函数模型解决实际问题 [例2] 某地庙会每天8点开始，17点结束．通过观察发现，游客数量f(x)(单位：人)与时间x之间，可以近似地用函数f(x)＝600sin (ωx＋φ)＋k(ω>0，|φ|<)来刻画，其中x∈[8，17]，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1 250 人，之后游客逐渐减少． (1)求出函数f(x)的解析式； (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 【解】　(1)由题意得f(10)＝350，f(14)＝1 250， 且sin (14ω＋φ)＝1， 故 故 又ω>0，|φ|<，解得ω＝，φ＝， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝600sin (x＋)＋650，x∈[8，17]. (2)当x∈[8，17]时，x＋∈[，3π]， 令600sin (x＋)＋650＝950， 解得x＋＝或x＋＝， 解得x＝12或x＝16，结合函数图象(图略)及x∈[8，17]，可得当x∈[8，12]或x∈[16，17]时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12点或16点到17点两个时间段赠送福字． 已知函数模型求解实际问题的一般思路 (1)这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b的函数来刻画，解这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可． (2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，最大值为b＋A，最小值为b－A. [跟踪训练2] 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(单位：秒)后离地面的距离为S(单位：米)，则S关于t的函数关系式为S(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π). (1)求S(t)的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长． 解：(1)如图，建立平面直角坐标系，当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0，60)，由题意得，ω＝， 解得所以S(t)＝40sin (t－)＋100. (2)令S(t)≥80，则S(t)＝40sin (t－)＋100≥80， 即cos t≤， 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)， 解得＋5k≤t≤＋5k(k∈Z). 当k＝0时，≤t≤，－＝， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 三　三角函数模型的拟合 [例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【解】　(1)由数据知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.由表中数据得A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.把t＝0，y＝1代入y＝sin ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝sin t＋1(0≤t≤24). (2)由y＝sin t＋1≥0.8，得sin t≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，11≤t≤19或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当． 确定三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． [跟踪训练3] (2025·东营期中)某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是2025年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 8 9 8 7 养殖成本(元/斤) 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，－π<φ<0)； ②y＝log2(x＋a)＋b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系． (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 解：(1)由题表中数据可知，收购价格随月份的变化上下波动，应选模型①， 由题表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点(1，8)及(3，8)， 可得函数周期满足＝3－1＝2， 即＝4，所以ω＝， 又函数最大值为A＋B＝9，最小值为－A＋B＝7，解得A＝1，B＝8， 所以y＝sin (x＋φ)＋8， 又＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又－π<φ<0，所以φ＝－， 所以模型①y＝sin ＋8(1≤x≤12，x∈N＋)； 对于模型②，y＝log2(x＋a)＋b图象过点(1，5)，(3，6)， 所以解得 所以模型②y＝log2(x＋1)＋4(1≤x≤12，x∈N＋). (2)由(1)设y1＝sin ＋8， y2＝log2(x＋1)＋4， 若y1>y2则盈利，若y1<y2则亏损． 当x＝5时，y1＝8>y2＝log26＋4； 当x＝6时，y1＝9>y2＝log27＋4； 当x＝7时，y1＝8>y2＝log28＋4； 当x＝8时，y1＝7<y2＝log29＋4， 这说明第5，6，7月份生猪养殖户可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 1．简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相位是(　　) A．5x－， B．5x－，4 C.5x－，－ D．4， 解析：选C.相位是5x－，当x＝0时的相位为初相位即－.故选C. 2．(多选)已知一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.该质点的运动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 D.该质点的运动周期为0.8 s 解析：选BCD.由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错误，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．故选BCD. 3．已知某段电路中电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数解析式是I＝5sin ωt(0<ω<100π)，t∈[0，＋∞)，若t＝ s时的电流为3 A，则t＝ s时的电流为 A． 解析：由题意5sin ＝3，所以sin ＝， 又因为0<ω<100π， 所以0<<，cos ＝＝， 所以t＝ s时的电流为I＝5sin ＝10sin cos ＝10××＝. 答案： 4．如图，质点P在半径为2 cm的圆周上按逆时针方向匀速运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s. (1)求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式； (2)求点P的运动周期和频率． 解：(1)由P0(，－)，得∠P0Ox＝－， 角速度为1 rad/s，点P从P0逆时针运动t秒后，∠P0OP＝t，所以∠xOP＝t－， 所以点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为 y＝2sin (t－)(t≥0). (2)由(1)知点P的运动周期为T＝＝2π， 所以频率为f＝＝. 1．已学习：三角函数在物理及实际生活中的应用． 2．须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程． 3．应注意：确定函数模型，易忽略定义域；根据确定的模型解决问题后，最后结果要回归实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $