章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以数学核心素养为统领，系统梳理三角函数知识体系，通过分模块框架呈现数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养下的定义、公式、性质及应用，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“素养导向”的分层培优设计，如数学运算模块通过同角三角函数关系求最值，逻辑推理模块设置三角函数式化简证明题，直观想象模块结合图象变换与交点问题，培养运算能力与推理意识。例题含详细解析与方法总结，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

一、数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中主要体现在三角函数的定义中. 培优一｜三角函数的定义 【例1】　在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0）. （1）求cos α的值； 解：（1）因为x＝－4a，y＝3a，所以r＝＝5｜a｜（a≠0），当a＞0时，cos α＝＝＝－；当a＜0时，cos α＝＝＝. （2）设a＞0，角β的终边与角α的终边关于y＝x对称，求cos β的值. 解：（2）因为角α的终边经过点P（－4a，3a），由角β的终边与角α的终边关于y＝x对称可得，角β的终边经过点Q（3a，－4a）， 又a＞0，则r＝＝5｜a｜＝5a，故cos β＝＝＝. 二、数学运算 　　在数学运算核心素养的形成过程中，学生可进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展. 培优二｜同角三角函数的基本关系及诱导公式 【例2】　（2025·南京质检）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P（m，n）. （1）若n＝，求tan α及的值； 解：（1）由角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P（m，n），n＝， ∴sin α＝，且cos α＜0，tan α＜0， ∴cos α＝－＝－＝－，tan α＝＝－， ∴＝＝＝. （2）若sin α＋cos α＝，求点P的坐标. 解：（2）∵sin α＋cos α＝，∴（sin α＋cos α）2＝，整理得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， 即1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－， ∴sin α（ －sin α）＝－，整理得25sin2α－5sin α－12＝0，∴（5sin α－4）（5sin α＋3）＝0. ∵角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P（m，n）， ∴sin α＝（舍去负值），cos α＝－，∴P（ －，）. 培优三｜三角函数的最值 【例3】　（1）已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5，1]，求a，b的值； 解：（1）∵x∈， ∴2x＋∈，sin∈. ∴当a＞0时，解得 当a＜0时，解得 ∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1. （2）求y＝的最大值和最小值. 解：（2）由已知y＝，得sin x＝. ∵｜sin x｜≤1，∴≤1，∴≤1， ∴⇒ ∴（y＋2）（3y－4）≤0且y≠3， 解得－2≤y≤. 故所求函数的最大值为，最小值为－2. 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数式的化简与证明、三角函数的性质等问题中. 培优四｜三角函数式的化简与证明问题 【例4】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：由tan2α＝2tan2β＋1， 得tan2α＋1＝2（tan2β＋1）， 即＝2·， 所以＝，即cos2β＝2cos2α， 即1－sin2β＝2（1－sin2α）， 故sin2β＝2sin2α－1. 原式得证. 培优五｜三角函数的性质 【例5】　（1）〔多选〕（2025·深圳期末）已知函数f（x）＝3sin（ 3x＋），则下列结论正确的是（　ACD　） A.函数f（x）的最小正周期是 B.函数f（x）在区间［－，］上是增函数 C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 D.函数f（x）的图象可以由函数g（x）＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度而得到 解析：（1） 对于A，易知函数f（x）的最小正周期是T＝，A正确；对于B，当x∈［－，］时，－≤3x＋≤π，易知y＝sin x在［－，π］上不单调，所以函数f（x）在区间［－，］上不单调，B错误；对于C，因为f（ ）＝3sin（ 3×＋）＝3sin＝3＝f（x）max，因此直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴，C正确；对于D，将g（x）＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度可得3sin ［3（ x＋）］＝3sin（ 3x＋）＝f（x）的图象，D正确. （2）〔多选〕已知函数f（x）＝sin（ ωx＋）＋acos ωx（ω＞0）的最小值为－，且图象过点（ －，－），其部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位长度得函数g（x）的图象，则（　BD　） A.f（x）的最小正周期为 B.f（ ）＝0 C.g（x）为偶函数 D.g（x）为奇函数 解析：（2）由f（x）＝sin（ ωx＋）＋acos ωx＝sin ωx＋（ ＋a）cos ωx，又函数f（x）的最小值为－，则＝，故a2＋a＋1＝3，所以a2＋a－2＝（a＋2）（a－1）＝0，可得a＝－2或a＝1，由图知f（0）＝＋a＜0⇒a＜－，故a＝－2， 所以f（x）＝sin ωx－cos ωx＝sin（ ωx－），由f（ －）＝sin（ －－）＝－，则sin（ －－）＝－，且点（ －，－）在递减区间，所以－－＝＋2kπ，k∈Z，可得ω＝－6－8k，k∈Z，又＝＞，则ω＜4，且ω＞0，故ω＝2，所以f（x）＝sin（ 2x－），则T＝π，f（ ）＝sin（ 2×－）＝0，A错，B对；g（x）＝f（ x＋）＝sin 2x为奇函数，C错，D对. 四、直观想象 　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中. 培优六｜三角函数的图象 【例6】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　C　） A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 解析：（1）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. （2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　D　） A.－ B.－ C. D. 解析：（2）由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. （3）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示. ①求f（x）的解析式； ②请写出g（x）＝f的表达式，并求出函数y＝g（x）的图象的对称轴和对称中心. 解析：（3）解：①由题图可知A＝3，＝－， 所以T＝π⇒ω＝2，f（x）＝3sin（2x＋φ）， 所以＋φ＝，φ＝－，所以f（x）＝3sin. ②由（1）知g（x）＝f＝3sin［2（x＋）－］＝3sin＝3cos 2x，令2x＝kπ（k∈Z），所以所求的对称轴为直线x＝（k∈Z），令2x＝＋kπ（k∈Z），x＝＋（k∈Z），所以所求的对称中心为（k∈Z）. 五、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.主要步骤为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题. 培优七｜构建三角函数模型 【例7】　游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 　 （1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数； 解：（1）法一　据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为＝弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t分钟后甲到达Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是t，因为圆的半径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为y＝50sin（t－），则其离地面的距离为h（t）＝20＋50＋50sin＝70－50cos t（t≥0）. 法二　因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），据题意有⇒ 又周期T＝20，所以ω＝，由在最低点入舱得·0＋φ＝－⇒φ＝－， 故得h（t）＝50sin＋70＝70－50cos t，t≥0. （2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后，甲乙离地面距离之差的表达式. 解：（2）由（1）可知游客乙离地面的距离：g（t）＝70－50cos＝70－50sin t， 其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙离地面距离之差表达式为：Δh＝h（t）－g（t）＝50. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $