第7章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦三角函数模型描述周期现象这一核心知识点，衔接三角函数周期性基础，通过“收集数据-散点图拟合-模型构建-检验应用”四步支架，结合气温统计、水轮转动等生活与物理实例，构建从知识理解到实际应用的完整学习脉络。 该资料以真实情境为载体，如用月均气温表引导学生用数学眼光发现周期规律，通过建模步骤培养数据分析、运算等数学思维，以函数表达式精准表达规律体现数学语言。课中助教师落实核心素养，课后供学生回顾建模过程，强化应用能力，弥补实际问题中模型限制的认知盲点。

　数学建模活动：周期现象的描述 学业标准 学科素养 1.了解三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．(难点) 2．通过建模活动，了解三角函数模型对研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．(重点) 1.通过数学建模活动，培养数学建模核心素养． 2．借助建模活动的实例，提升数学运算、数据分析、直观想象等核心素养． 类型(一)　生活中具有周期现象的函数模型 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． 　下面是一份某市的月平均气温统计表． x(月份) t(气温) x(月份) t(气温) 1 17.3 7 10.06 2 17.9 8 9.5 3 17.3 9 10.06 4 15.8 10 11.6 5 13.7 11 13.7 6 11.6 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为该市的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，该市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定该市的最佳旅游时间． [解析]　(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数， 依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝A cos (ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A＝＝4.2， k＝＝13.7. 显然＝12，故ω＝. 又x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0， 得φ＝－ωx＝－×2＝－. 所以t＝4.2cos ＋13.7为该市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5，13.7)，(11，13.7). 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是该市的最佳旅游时间． 三角函数模型应用的基本思路 　 类型(二)　物理学中具有周期现象的函数模型 　建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图所示是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)的关系． (1)求y＝f(t)的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． [解析]　(1)因为f(t)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)图象上最低点坐标为(3，－4)，与之相邻的最高点坐标为(15，12)， 所以A＝＝8，＝15－3＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4， 所以T＝＝24，又ω>0，所以ω＝， 所以f(t)＝8sin ＋4(0≤t≤24). (2)根据题设，由(1)得8sin ＋4<0，即sin <－， 由y＝sin x的图象得＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z， 解得23＋24k<t<31＋24k，k∈Z， 又0≤t≤24， 当k＝－1时，0≤t<7，当k＝0时，23<t≤24， 所以0≤t<7或23<t≤24， 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时． 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．　 1．(多选题)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时为起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(t)＝6sin ＋3 B．f(3)＝9 C．f(1)＝f(7) D．若 f(t)≥6，则 t∈ 解析　如图，以水轮所在面为坐标平面，水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系．依题意得转动一圈的时间，即周期为＝12(s)，OP在t(s)内所转过的角度为t，则∠POx＝t－，则点P的纵坐标为 y＝6sin ，点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数 f(t)＝6sin ＋3，选项A正确； f(3)＝6sin ＋3＝3＋3，选项B错误； f(1)＝6sin ＋3＝3， f(7)＝6sin ＋3＝3，f(1)＝f(7)，选项C正确；由f(t)≥6得sin ≥，解得t∈，选项D错误． 答案　AC 2．为迎接夏季旅游旺季的到来，某景点单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，该景点的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，寺庙想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系． (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？ 解析　(1)设该函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500. 根据上述分析可得，＝12， 故ω＝，且 解得 根据分析可知，当x＝2时f(x)最小， 当x＝8时f(x)最大，故sin ＝－1， 且sin ＝1. 又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)＝200sin ＋300. (2)由条件可知，200sin ＋300≥400，化简，得sin ≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N＋，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物． 知识落实 技法强化 (1)三角函数模型在物理学及生活中的应用． (2)根据确定的三角函数模型解决生活中的问题． (1)本节课应用了数形结合、数学建模的思想方法． (2)本节课容易忽视实际生活中对三角函数的模型的限制． 学科网（北京）股份有限公司 $