7.3.5 已知三角函数值求角（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“已知三角函数值求角”核心知识点，系统梳理利用三角函数线、图象求正弦、余弦、正切值对应的角及解不等式的方法，衔接反三角函数（arcsin x, arccos x, arctan x）的定义，搭建从具体实例到一般规律的学习支架。 该资料以“特工密码还原”类比导入，通过问题驱动（如“如何求解sinx=a”）和数形结合（三角函数线、图象）展开，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观。例题与跟踪训练结合，引导学生经历“求解—归纳—应用”过程，发展数学思维中的推理能力，课中辅助教师直观教学，课后助力学生通过练习与总结查漏补缺。

7．3.5　已知三角函数值求角 新课导入 学习目标 　　特工人员发送情报时都用密码传送，接到密码的人员要把密码还原成原来的文字才能使用．这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值．如已知角求三角函数值是加密的过程，那么由三角函数值求角就是还原的过程．对于某一种三角函数来说，由于每一个三角函数值都有多个角对应，因此由三角函数值求角就变得比较困难．究竟如何由三角函数值求角呢？下面我们来一起学习吧！ 1.掌握利用三角函数线求角的方法． 2．了解用信息技术求arcsin x，arccos x，arctan x的方法． 一　已知正弦值求角、解不等式 思考　如何求解关于x的方程sin x＝a和不等式sin x<a(或sin x>a)的解集？ 提示： 方法一(利用三角函数线)： 以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集． 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集．终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集． 方法二(利用三角函数图象)： (1)交点P与P′的横坐标为[0，2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0，2π]上的解． (2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin x<a在[0，2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在[0，2π]上的解集． (3)结合正弦函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内． [例1] 已知sin x＝－，求x. 【解】　方法一：由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，如图所示，可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.又因为sin ＝sin ＝－，所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 方法二：因为sin x＝－，如图所示，由正弦函数的图象，知在[0，2π]内， sin ＝sin ＝－，所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. (1)利用正弦值求角 利用正弦线、正弦函数的图象求出一个周期(常用[0，2π]，，)内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍． (2)利用正弦值解不等式 先求出相等时的x值，再根据单位圆、图象确定x的范围． [跟踪训练1] 在[－π，π]上，满足sin x≤的x的取值范围是____________． 解析：如图所示，因为sin ＝sin ＝，所以满足sin x≤的x的取值范围为∪. 答案：∪ 二　已知余弦值求角、解不等式 思考　如何求关于x的方程cos x＝a和不等式cos x<a(或cos x>a)的解集？ 提示　方法一(利用三角函数线)： 以射线OP与OP′为终边的角构成cos x＝a的解集． 终边在图中阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集．终边在空白部分(不含边界)的角构成cos x>a的解集． 方法二(利用三角函数图象)： (1)交点P与P′的横坐标为[0，2π]内使cos x＝a成立的x的值，即为cos x＝a在[0，2π]上的解． (2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos x<a在[0，2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在[0，2π]上的解集． (3)结合余弦函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内． [例2] (1)(对接教材例1)已知cos ＝，求x. (2)求不等式cos >－的解集． 【解】　(1)由cos ＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为cos ＝cos ＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. (2)如图所示，在[－π，π]上，当x＋＝－或x＋＝时， cos ＝－， 所以当x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos ＝－.令－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为. 利用余弦值求角、解不等式的思路 将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围． [跟踪训练2] 已知f(x)＝cos . (1)若f(x)＝，求x； (2)解不等式f(x)<. 解：(1)利用三角函数线可知，当x∈[0，2π]时，cos ＝cos ＝， 令3x＋＝＋2kπ，k∈Z或3x＋＝＋2kπ，k∈Z. 解得x＝＋，k∈Z或x＝＋，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知， ＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得＋<x<＋，k∈Z，所以原不等式的解集为. 三　已知正切值求角、解不等式 思考　如何求解关于x的方程tan x＝a和不等式tan x<a(或tan x>a)的解集？ 提示　方法一(利用三角函数线)： 以射线OP与OP′为终边的角构成tan x＝a的解集． 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成 tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集． 方法二(利用三角函数图象)： (1)交点P的横坐标为内使tan x＝a成立的x的值，即为tan x＝a在上的解． (2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan x<a在上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在上的解集． (3)结合正切函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内． [例3] (1)当0<x<π时，使tan x<－1成立的x的取值范围为____________． (2)(对接教材例2)已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x. 【解】　(1)由正切函数的图象知，当0<x<π时， 若tan x<－1，则<x<， 即实数x的取值范围是. (2)因为tan x＝－1＜0， 所以x是第二或第四象限的角． 由tan ＝－tan ＝－1可知， 所求符合条件的第四象限角为x＝－. 又由tan ＝－tan ＝－1可知， 所求符合条件的第二象限角为x＝－， 所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－. 已知正切值求角、解不等式的思路 (1)将ωx＋φ看作一个整体，先根据正切线、图象求出一个周期内的值或范围，一般选取，再推广到定义域上，正切加kπ，区别于正、余弦加2kπ. (2)最后代入ωx＋φ求值或求范围． [跟踪训练3] 已知f(x)＝tan . (1)若f(x)＝，求x； (2)解不等式f(x)≥. 解：(1)tan ＝>0，角x＋对应的正切线方向朝上，且长度为，如图所示，所以角x＋的终边为OT或OT′. 因为tan ＝tan ＝， 所以x＋＝＋kπ，k∈Z. 即x＝＋2kπ，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z， 解得＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z， 所以原不等式的解集为. 四　arcsin x，arccos x，arctan x的含义 [知识梳理] 1．在区间内，满足sin x＝y，y∈[－1，1]的x只有一个，记作x＝arcsin y． 2．在区间[0，π]内，满足cos x＝y，y∈[－1，1]的x只有一个，记作x＝arccos y． 3．在区间内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝arctan y． [即时练] 1．使arcsin (1－x)有意义的x的取值范围是(　　) A．[1－π，1] B．[0，2] C．(－∞，1] D．[－1，1] 解析：选B.要使arcsin (1－x)有意义，应满足－1≤1－x≤1，所以0≤x≤2，故选B. 2．若cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为 ． 解析：因为x∈[0，π]，且cos x＝－， 所以x∈， 所以x＝arccos ＝π－arccos . 答案：π－arccos 3．已知tan x＝，且x∈(0，2π)，则x＝ . 解析：因为tan x＝>0，x∈(0，2π) 所以角x的终边在第一象限或第三象限， 所以x＝arctan 或x＝π＋arctan . 答案：arctan 或π＋arctan (1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝arcsin a＋2kπ或x＝－arcsin a＋(2k＋1)π，k∈Z}，也可化简为{x|x＝(－1)karcsin a＋kπ，k∈Z}． (2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝±arccos a＋2kπ，k∈Z}． (3)方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝arctan a＋kπ，k∈Z}． 1．已知tan θ＝－1，且θ∈，则θ的大小是(　　) A．－　　 B． C．　　 D．， 解析：选B.因为tan θ＝－1， 且θ∈，则θ＝. 2．arccos ＝(　　) A． B．－ C． D． 解析：选C.由arccos 的定义可得 arccos ＝π－arccos ＝π－＝.故选C. 3．(教材P63T2(2)改编)若cos (π－x)＝，x∈，则x的值为(　　) A．或 B．± C．± D．± 解析：选C.因为cos (π－x)＝－cos x＝， 所以cos x＝－. 因为x∈， 所以x＝或x＝－.故选C. 4．函数y＝ln (cos 2x－1)的定义域为 ． 解析：依题意得cos 2x－1>0， 所以cos 2x>， 所以－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z. 答案：. 1．已学习：(1)利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象，由三角函数值求角、解不等式． (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义． 2．须贯通：已知三角函数值求角或不等式常用到数形结合． 3．应注意：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错． 学科网（北京）股份有限公司 $