第7章 7.3.5 已知三角函数值求角（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“已知三角函数值求角”核心知识点，系统梳理从[0,2π]范围确定角到表示任意角的方法，涵盖正弦、余弦、正切函数，通过三角函数图象与三角函数线构建学习支架，连接基础概念与综合应用。 该资料以直观想象为核心，结合分层题型（判断、例题、变式）培养数学运算与逻辑推理。如题型一通过不同范围求角，母题变式扩展到全体实数，易错辨析纠正周期漏解问题。课中助力教师授课，课后帮助学生巩固，提升知识应用能力。

7．3.5　已知三角函数值求角 学业标准 学科素养 1.能根据[0，2π]范围确定已知三角函数值的角．(重点) 2．已知一个三角函数值，能合理地表示出与它对应的角．(难点) 通过已知三角函数值或范围求角的值或范围，培养直观想象、数学运算核心素养． 导学 已知三角函数值求角 　在△ABC中，若sin A＝，则A＝ ． 若sin A＞，则A的取值范围是 ． [提示]　∵A∈(0，π). ∴利用y＝sin x的图象， 当sin A＝可得：A＝或. 当sin A＞可得：＜A＜. ◎结论形成 已知三角函数值求角的基本方法：三角函数图象法、三角函数线法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α＝，则α＝＋2kπ.(　　) (2)若cos α＝cos β，则α＝β.(　　) (3)若tan α＝1，则tan α＝＋kπ.(　　) (4)若sin α＝sin β，则α＋β＝π或α＝β.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设x是锐角三角形的内角，且sin x＝，则x等于(　　) A． B． C．或 D．或 解析　∵x∈，由sin x＝， ∴x＝，故选B. 答案　B 3．若cos x＝－，x∈(0，2π)，则x的值为 ． 解析　∵x∈(0，2π)， ∴由y＝cos x的图象可得x＝或. 答案　或 4．若sin x＝cos 40°，则x的值为 ． 解析　sin x＝cos 40°＝sin 50°＝sin 130°， 由正弦线可得x＝k·360°＋50°或x＝k·360°＋130°，k∈Z. 答案　x＝k·360°＋50°或x＝k·360°＋130°，k∈Z 题型一　已知正弦值(范围)求角的值(范围) 　[教材例1提升]已知sin x＝－. (1)当x∈时，求x的集合； (2)当x∈时，求x的集合； (3)当x∈[0，2π]时，求x的集合． [解析]　(1)∵y＝sin x，x∈是单调递增函数，且知sin ＝－. ∴满足条件的角有且只有x＝－. 故x的集合为. (2)y＝sin x在上递减且sin ＝－， ∴x＝，故x的集合为. (3)解法一　∵函数y＝sin x，x∈[0，2π]， 且sin x＝－＜0， ∴适合条件的x应在第三或第四象限， 可知符合条件的角有两个，第三象限角为，第四象限角为，∴x的集合为. 解法二(借助正弦线)　如图所示． 又sin ＝sin ＝－ ∴x∈[0，2π]时，x＝或. 解法三(借助正弦曲线)　如图所示． 当x∈[0，2π]时，x＝或. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，若x∈R，则x的值为 ． 解析　由本例(3)知当x∈[0，2π]时，x＝或x＝，当x∈R时，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 答案　x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z 2．(变条件、变结论)本例条件变为“若sin x≥－”，则x的取值范围是 ． 解析　借助正弦曲线，如图所示． 当x∈时，－≤x≤. 当x∈R时，满足条件的x的取值范围是 (k∈Z). 答案　(k∈Z) [素养聚焦]　已知正弦值求角的过程中，强化了数形结合的思想，体现的核心素养是直观想象． 已知正弦值(范围)求角的值(范围)的方法 (1)借助正弦线，先求出[0，2π]内的角或范围，再利用终边相同角的表示方法求全角． (2)借助正弦曲线，可先选，也可选[0，2π]求出满足题意的角或范围，在此基础上求全角． [提醒]　角的范围的表示形式不唯一．　 [触类旁通] 1．若α是锐角，sin (α＋15°)＝，那么锐角α等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 解析　因为sin (α＋15°)＝，α是锐角， 所以α＋15°∈(15°，105°)，α＋15°＝45°， 所以α＝30°. 答案　B 题型二　已知余弦值(范围)求角的值(范围) 　求函数y＝＋lg (2sin x－1)的定义域． [解析]　要使函数有意义， 只要即 如图所示． cos x≤的解集为，sin x＞的解集为，它们的交集，即为函数的定义域． 1．已知余弦值求角的值的方法 借助余弦线或余弦函数图象，一般先求[0，2π]上的角，再求符合题意的所有角． 2．若cos x＝cos α(α已知)，则x＝2kπ＋α或x＝2kπ＋2π－α，k∈Z，也可写成x＝2kπ±α，k∈Z.　 [触类旁通] 2．已知x＝是方程2cos (x＋α)＝－1的解，其中α∈(0，2π)，则α＝ ． 解析　由题意可得2cos ＝－1， 则cos ＝－， ∵0<α<2π，∴<＋α<，所以＋α＝或＋α＝，解得α＝或α＝π. 答案　或π 题型三　已知正切值(范围)求角的值(范围) 　已知tan x＝－. (1)当x∈时，求角x的值； (2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值； (3)当x∈R时，求角x的值． [解析]　画出y＝tan x，x∈的图象， (1)当x∈时，x＝－. (2)∵x∈(0，π)且tan x＜0， ∴x∈. ∴x＝π－＝. (3)当x∈R，由正切函数的周期性得 x＝kπ－，k∈Z. 已知正切值(范围)求角的值(范围)与题型一、题型二的方法基本相同，主要借助三角函数线或三角函数图象求解，不同的是周期不一样，写全解时要注意．　 [触类旁通] 3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题可知该点坐标为，即，并且该点在第二象限， 所以可知tan α＝＝－，则角α的最小正值为. 答案　B [缜密思维提能区] 易错辨析 已知三角函数值求值 [典例]　(1)已知cos x＝cos ，求x. (2)已知tan x＝tan ，求x. [错解]　(1)∵cos x＝cos ，∴x＝＋2kπ，k∈Z. (2)∵tan x＝tan ，∴x＝＋2kπ，k∈Z. [错因分析]　(1)对余弦函数的单调性理解不深刻；(2)对正切函数的周期记忆错误为2π. [正解]　(1)在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x＝cos 的角有两个：和－. 又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z). (2)在上满足tan x＝tan 的x有且只有一个：. 又y＝tan x的周期为π，则满足tan x＝tan 的x为kπ＋(k∈Z). [纠错心得] 已知三角函数值求角，要注意其周期性，避免漏解或增解． 知识落实 技法强化 (1)利用单位圆中的三角函数线，由三角函数值求角、解不等式． (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义． (1)已知三角函数值求角应用了数形结合的思想方法． (2)求arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错． 学科网（北京）股份有限公司 $