7.3.4 正切函数的性质与图象（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正切函数的性质与图象，通过类比已学的正弦、余弦函数，引导学生从定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性及图象绘制等方面系统探究，构建三角函数学习的完整框架。 资料以问题驱动设计“思考”环节，培养学生用数学眼光抽象正切函数定义，通过例题（如求y=tan(-3x+π/4)单调区间）渗透整体代换思维，提升数学推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过跟踪训练巩固知识，弥补薄弱点。

7．3.4　正切函数的性质与图象 新课导入 学习目标 　　同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 1.理解、掌握正切函数的性质． 2．了解正切函数图象的画法，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 一　正切函数的定义域及值域 思考　类比正弦函数、余弦函数的定义，你能得到正切函数的定义吗？其定义域是什么呢？ 提示：y＝tan x，且x≠＋kπ，k∈Z，由任意角的正切的定义可以得到正切函数的定义域为. [知识梳理] 1．正切函数 对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 2．正切函数的定义域与值域 (1)定义域：因为角＋kπ(k∈Z)的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知y＝tan x的定义域为． (2)值域：正切函数的值域是实数集R. (3)正切函数y＝tan x的零点为kπ，k∈Z. [例1] (1)(对接教材例1)函数y＝3tan 的定义域为____________________________________________________； (2)函数y＝tan2x－2tanx的值域为____________． 【解析】　(1)由－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为. (2)令u＝tan x，因为|x|≤， 所以由正切函数的图象知u∈[－，　]， 所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，　]， 因为二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1的图象开口向上，对称轴方程为u＝1， 所以当u＝1时，ymin＝－1， 当u＝－时，ymax＝3＋2， 所以原函数的值域为[－1，3＋2　]. 【答案】　(1) (2)[－1，3＋2　] 　 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. ②求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. (2)求正切函数值域的方法 ①对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． ②对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． [跟踪训练1] (1)函数y＝3tan (π＋x)，－<x≤的值域为________. 解析：函数y＝3tan (π＋x)＝3tan x，因为正切函数在(－，]上单调递增，所以－3<y≤，所以值域为(－3，　]. 答案：(－3，　] (2)函数y＝lg (－tan x)的定义域是_____________________________________． 解析：要使y＝lg (－tan x)有意义， 需使 所以函数的定义域是{x|kπ－<x<kπ＋，k∈Z}． 答案： 二　正切函数的奇偶性和周期性 思考　诱导公式tan (－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 提示：说明正切函数为奇函数． [知识梳理] 1．奇偶性：由诱导公式tan (－x)＝－tan x，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数y＝tan x是一个奇函数． 2．周期性：由诱导公式tan (x＋π)＝tan x，且x≠＋kπ，k∈Z，可知y＝tan x是周期为π的周期函数． [例2] (1)(2025·辽阳月考)函数f(x)＝tan 是(　　) A．最小正周期为4π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为4π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 (2)已知函数f(x)＝x5＋tan x－3，且f(－m)＝－2，则f(m)＝________． 【解析】　(1)函数f(x)＝tan ，定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，关于原点对称，f(－x)＝tan ()＝－tan ＝－f(x)，函数为奇函数，其最小正周期T＝＝2π. (2)由题意，可得f(－m)＝－m5－tan m－3，f(m)＝m5＋tan m－3， 所以f(m)＋f(－m)＝－6， 由f(－m)＝－2，得f(m)＝－4. 【答案】　(1)B　(2)－4 　 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，常常利用此公式来求最小正周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． [跟踪训练2] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 解析：选A.由2x≠kπ＋，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z， f(x)的定义域是， f(x)的定义域关于原点对称． f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项． f(x＋)＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为，A选项正确． f(x＋)＝ ＝＝ ＝≠f(x)， 所以不是f(x)的周期，C选项错误．故选A. (2)函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝所截得的线段长为，则f() 的值是________． 解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为，所以ω＝＝8. 所以f()＝tan ＝tan ＝. 答案： 三　正切函数的单调性及其应用 思考　随着角的变化，其正切线是如何变化的？其正切值的取值是怎样的？ 提示：当角x从0开始增大，并越来越接近时，tan x的值从0开始增大，且tan x能取到[0，＋∞)内的所有数，类似地，tan x能取到(－∞，0]内的所有数． [知识梳理] 正切函数的单调性： 正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是单调递增的． 角度1　求正切型函数的单调区间 [例3] 函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为____________． 【解析】　y＝tan (－3x＋)＝－tan (3x－). 由－＋kπ＜3x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＋＜x＜＋(k∈Z)， 故函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为 (－＋，＋)(k∈Z). 【答案】　(－＋，＋)(k∈Z) 　 求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω> 0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间． 角度2　比较大小 [例4] 不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”“>”连接起来． (1)tan 32°________tan 215°. (2)tan________tan . 【解析】　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， 而0°＜32°＜35°＜90°，因此tan 32°＜tan 35°， 所以tan 32°＜tan 215°. (2)tan ＝tan (4π－)＝tan ， tan (－)＝tan (－3π－) ＝tan (－)， 而－＜－＜－＜0， 函数y＝tan x在(－，0)上单调递增， 则tan (－)＜tan (－)， 所以tan ＜tan (－). 【答案】　(1)<　(2)< 　 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系． [跟踪训练3] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＜c＜b 解析：选A.由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x＞0，在(，π)上单调递增且tan x＜0，因为＜1＜＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A. (2)若函数y＝tan 3x在区间(m，)上单调递增，则实数m的取值范围为________． 解析：令kπ－＜3x＜kπ＋，k∈Z， 解得－＜x＜＋，k∈Z， 令k＝0，则其一个单调递增区间为(－，)， 则实数m的取值范围为[－，). 答案：[－，) 四　正切函数的图象 思考　类比画正弦函数图象的方法，结合正切函数的周期性、奇偶性，你能作出y＝tan x，x∈上的图象吗？如何得到y＝tan x上的图象？ 提示：可以利用描点法画出y＝tan x，x∈上的图象，再利用y＝tan x是奇函数，即可得到y＝tan x，x∈上的图象；最后利用y＝tan x以π为周期，它在区间(k∈Z)上的函数图象与其在上的函数图象完全相同就可以得到y＝tan x在上的图象． [知识梳理] 一般地，y＝tan x的函数图象称为正切曲线． 正切函数的对称中心为(k∈Z). 提醒　正切函数只有对称中心，没有对称轴． [例5] 设函数f(x)＝tan . (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． 【解】　(1)因为ω＝， 所以最小正周期T＝＝＝2π. 令－＝(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)图象的对称中心是(k∈Z). (2)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 所以函数y＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－，)内的简图(如图). 　 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的，y＝tan x图象的对称中心为，k∈Z. [跟踪训练4] 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性． 解：由y＝|tan x|， 得y＝ 其图象如图， 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为 ， 值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的最小正周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 1．函数y＝的定义域为(　　) A．[kπ－，kπ]，k∈Z B．[kπ，kπ＋]，k∈Z C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z D．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z 解析：选C.由题意可得1－tan x≥0， 且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1， 所以x∈(kπ－，kπ＋]，k∈Z.故选C. 2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 C．f(x)是奇函数 D．f() ＜f() 解析：选BD.对A，由f(x)＝tan (x＋)，得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误； 对B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的定义域为，故B正确； 对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 对D，由B知当k＝1时，f(x)在(，)上单调递增， 所以f()＜f()，故D正确．故选BD. 3．(教材P59T5改编)函数f(x)＝tan (x＋)的单调递增区间为________________． 解析：对于函数f(x)＝tan (x＋)， 由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)， 可得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－，2k＋)(k∈Z). 答案：(2k－，2k＋)(k∈Z) 4．已知函数f(x)＝a－tan 2x在闭区间[－，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值． 解：取－＜2x＜， 解得－＜x＜， 所以y＝tan 2x在(－，)上单调递增， 即f(x)＝a－tan 2x在(－，)上单调递减， 因为f(x)在闭区间[－，b]上有最大值为7，最小值为3， 所以－＜b＜，且f(b)＝3，f(－)＝7， 即 解得 因为－＜b＜，所以b＝， 故a＝4，b＝. 　 1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质． 2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，而不是T＝；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，其图象的对称中心(，0)(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $