7.3.5 已知三角函数值求角-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.3.5 已知三角函数值求角 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握利用三角函数线求角的方法,会由已知的三角函数值求角,并会用符号arcsin x,arccos x,arctan x表示角. 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[-2π,2π]上对应的角. 1.已知正弦值求角 对于正弦函数y=sin x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在上有唯一的x值和它对应,记为x=arcsin y.  2.已知余弦值求角 对于余弦函数y=cos x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在[0,π]上有唯一的x值和它对应,记为x=arccos y.  3.已知正切值求角 一般地,如果y=tan x(y∈R)且x∈,那么对每一个正切值y,在开区间内,有且只有一个角x,使tan x=y,记为x=arctan y.  基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在区间上,满足条件sin x=a的x有一个. (　　) (2)在区间上,满足条件tan x=a的x有一个. (　　) (3)在区间上,满足条件cos x=a的x有一个. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.下列说法错误的是 (　　) A.arcsin=- B.arcsin 0=0 C.arcsin(-1)= D.arcsin 1= 解析:选C　根据已知正弦值求角的定义知arcsin(-1)=-,故C项错误. 3.已知α是三角形的内角,且sin α=,则α= (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选C　因为α是三角形的内角,所以α∈(0,π),当sin α=时,α=或,故选C. 题型(一)　已知正弦值求角 [例1]　已知sin x=-,求x. 解:法一　由sin x=-<0可知,角x对应的正弦线方向朝下,而且长度为.如图所示,可知角x的终边可能是OP,也可能是OP'.又因为sin=sin=-,所以x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z. 法二　因为sin x=-,如图所示,由正弦函数的图象,知在[0,2π]内,sin=sin=-, 所以x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z. 　　[变式拓展] 　将本例条件改为sin x=,试求x. 解:由sin x=>0可知,角x对应的正弦线方向朝上,而且长度为,如图所示,可知角x的终边可能是OP,也可能是OP'.又因为sin=sin=,所以x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z. 　　|思|维|建|模| (1)给值求角问题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用. (2)正弦函数值与角之间的对应关系 sin x=a (|a|≤1) x∈ x∈[0,2π] x=arcsin a 0≤a≤1 -1≤a<0 x1=arcsin a, x2=π-arcsin a x1=π-arcsin a, x2=2π+arcsin a 　　[针对训练] 1.已知sin x=. (1)当x∈时,求x的取值集合; (2)当x∈[0,2π]时,求x的取值集合; (3)当x∈R时,求x的取值集合. 解:(1)∵y=sin x在上是增函数,且sin=, ∴x=,∴是所求集合. (2)∵sin x=>0,∴x为第一或第二象限角,且sin=sin=, ∴在[0,2π]上符合条件的角有x=或x=, ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时,x的取值集合为. 题型(二)　已知余弦值求角 [例2]　(1)已知cos α=-,α∈,则α=　　　　.  (2)已知cos=,求x. 解析:(1)由余弦函数在[0,π]上是减函数和cos α=-可知,在[0,π]内符合条件的角有且只有一个arccos,即arccos∈[0,π]. 又∵cos α=-<0,∴arccos∈, ∴0<π-arccos<. ∴π<π+π-arccos<, 即π<2π-arccos<. ∴α=2π-arccos. 答案:2π-arccos (2)由cos=>0,知角2x-对应的余弦线方向向右,且长度为. 如图所示,可知角2x-的终边可能是OP,也可能是OP'. 又因为cos=cos=,所以2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ,k∈Z. 所以x=+kπ或x=+kπ,k∈Z. 　　|思|维|建|模|　余弦函数值与角之间的对应关系 cos x= a(|a|≤1) x∈[0,π] x∈[0,2π] x=arccos a x1=arccos a, x2=2π-arccos a 　　[针对训练] 2.若cos=,则满足条件的角x的集合是　　　　.  解析:因为cos=,所以x-=2kπ-或x-=2kπ+(k∈Z),解得x=2kπ或x=2kπ+(k∈Z). 所以满足条件的角x的集合是. 答案: 3.求不等式2cos-<0的解集. 解:不等式变为cos<,则+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得+kπ<x<+kπ,k∈Z. 所以不等式的解集为. 题型(三)　利用正切值求角 [例3]　方程tan=在区间[0,2π)上的解的个数是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　法一　令t=2x+,作出函数y=tan t的图象如图所示. 令2x+=+kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z. 又由0≤<2π,所以k=0,1,2,3. 故方程在区间[0,2π)上有4个解. 法二　由tan=>0,设t=2x+, 所以角2x+对应的正切线方向朝上,而且长度为,如图所示, 可知2x+的终边可能是OT,也可能是OT'. 因为tan=tan=, 所以2x+=+kπ,k∈Z.所以x=,k∈Z. 又由0≤<2π,所以k=0,1,2,3. 故方程在区间[0,2π)上有4个解. 　　|思|维|建|模|　正切函数值与角之间的对应关系 tan x=a (a∈R) x∈ x∈[0,2π) x=arctan a a≥0 a<0 x1=arctan a, x2=π+arctan a x1=π+arctan a, x2=2π+arctan a 　　[针对训练] 4.当0<x<π时,使tan x<-1成立的x的取值范围为　　　　.  解析:由正切函数的图象知,当0<x<π时,若tan x<-1,则<x<,即实数x的取值范围是. 答案: 5.函数y=1+tan在区间(-π,π)内的零点个数为　　　　.  解析:函数y=1+tan,令1+tan=0,得tan=-1,所以2x-=kπ-,k∈Z,解得x=-,k∈Z.当k=-1时,x=-;当k=0时,x=-;当k=1时,x=;当k=2时,x=,所以函数在区间(-π,π)内的零点有4个. 答案:4 学科网（北京）股份有限公司 $