7.3.2 正弦型函数的性质与图象(一)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的性质与图象，以正弦函数y=sin x为基础，通过φ的平移变换、ω的周期伸缩变换、A的振幅伸缩变换构建知识支架，系统梳理从基础函数到复杂函数的图象变换脉络。 该资料以明朝筒车实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过思考探究、例题解析及母题变式发展数学思维，五点法作图训练数学语言表达。课中助力教师清晰讲解变换逻辑，课后练习题与总结帮助学生巩固，有效查漏补缺。

7．3.2　正弦型函数的性质与图象(一) 新课导入 学习目标 明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理．如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H，筒车转轮的中心O到水面的距离为h，筒车的半径为r，转动的角速度为ω，则H＝r sin (ωt＋φ)＋h.这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响． 2．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 3．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 4．能根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式. 一　平移变换 思考　观察如图所示的图象，比较函数y＝sin 与函数y＝sin x的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示：两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线y＝sin x上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象． [知识梳理] 1．正弦型函数的定义 一般地，形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数． 2．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响 [例1] 要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位　 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【解析】　因为y＝sin (2x＋)＝sin ，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，就可得到函数y＝sin (2x＋)的图象． 【答案】　C 母题探究　要得到函数y＝sin 2x的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：选D.因为y＝sin ＝sin ，只需将函数的图象向右平移个单位，就得到y＝sin ＝sin 2x的图象． 　 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x前的系数．当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． [跟踪训练1] (1)将函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是______________________． 解析：函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得y＝sin (x－－)＝sin (x－).　 答案：y＝sin (x－) (2)把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin (x＋)的图象，则f(x)＝________． 解析：由题意可知，函数y＝sin (x＋)向左平移个单位即为f(x)，即 f(x)＝sin (x＋＋)＝sin (x＋). 答案：sin (x＋) 二　伸缩变换 思考1　观察下图，你能发现什么？ 提示：由题图我们可以看到，函数的最小正周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin 的图象上对应点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍． 思考2　借助多媒体，在同一平面直角坐标系下画出y＝sin 和y＝3sin 的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示：可以发现对于同一个x值，y＝3sin 的图象上对应点的纵坐标总是等于y＝sin 的图象上对应点的纵坐标的3倍． [知识梳理] 1．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 2．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 [例2] 为了得到函数y＝sin (x－)的图象，只需将函数y＝sin (x－)的图象上各点(　　) A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【解析】　先将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，再将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，即将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－)的图象．故选D. 【答案】　D 　 图象伸缩变换的关注点 (1)两个弄清：要弄清是横向还是纵向，要弄清是伸长还是缩短； (2)三角函数图象伸缩变换的两种方法： [跟踪训练2] (1)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数解析式是(　　) A．y＝sin ，x∈R B．y＝sin ，x∈R C．y＝sin ，x∈R D．y＝sin ，x∈R 解析：选C.把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，故选C. (2)(2025·东营月考)将函数y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得函数图象的解析式为____________． 解析：将函数y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin x的图象． 答案：y＝3sin x 三　用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)的图象 [例3] (对接教材例4)用五点法画函数y＝2sin (3x＋)在一个周期内的简图． 【解】　令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u，列表如下： x － u＝3x＋ 0 π 2π y＝2sin u＝ 2sin 0 2 0 －2 0 描点连线，画图如下． 母题探究　本例中把“一个周期内”改为“[0，]”，又如何作图？ 解：因为x∈[0，]，所以3x＋∈[，]，令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u， 列表如下： x 0 u＝3x＋ π 2π y＝2sin u＝ 2sin 1 2 0 －2 0 1 描点连线，画图如下． 　 (1)五点法作图的实质：利用五点法画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用五点法作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤． 第一步：列表． x － － － － － ωx＋φ 0 π 2π f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象． (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值． [跟踪训练3] 已知函数y＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 解：(1)列表： x － ＋ 0 π 2π y＝3sin ＋3 3 6 3 0 3 (2)描点连线，画图如下： 1．用五点法画函数y＝sin 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：选C.令4x－＝，得x＝， 所以该点坐标为. 2．(多选)为了得到函数f(x)＝sin 的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 解析：选AC.正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin 的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin 的图象，故C正确，D错误． 3．(教材P51T2改编)把函数y＝sin (2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，再将 f(x)图象上所有点向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 解析：y＝sin (2x＋)纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到f(x)＝sin (x＋)，将f(x)图象上所有点向右平移个单位，可得g(x)＝f(x－)＝sin (x－＋)＝sin x. 答案：sin x 4．将函数y＝2sin (x＋)的图象向右平移m(m＞0)个单位后的图象过原点，则m的最小值是________． 解析：由题意可知，平移后函数解析式为y＝2sin (x＋－m)， 因为函数y＝2sin (x＋－m)的图象过原点， 所以0＝2sin (0＋－m)， 即0＝sin (－m)，解得－m＝kπ，k∈Z， 即m＝－kπ，k∈Z， 又m＞0，故k＝0时，m取最小值. 答案： 　 1．已学习：三角函数图象的平移变换、伸缩变换；五点法作图． 2．须贯通：由函数y＝sin x的图象得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，既可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移，其效果是一样的，但两种变换中平移的单位均是对于自变量“x”而言的，因而平移的单位是不同的． 3．应注意：(1)变换前后函数名是否相同及变换顺序；(2)五点法作图中五点的选取． 学科网（北京）股份有限公司 $