7.3.3 余弦函数的性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.3.3 余弦函数的性质与图象 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解正弦函数与余弦函数图象的关系.2.能借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质. 3.掌握余弦型函数的图象变换及性质. 1.余弦函数的定义 因为对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数. 2.余弦函数的性质 性质 内容 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 T=2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π 奇偶性 偶函数 单调区间 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增, 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 最值 x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1; x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1 对称性 对称轴为x= kπ,对称中心为,其中k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) 3.余弦函数的图象 把正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位就得到余弦函数y=cos x的图象,该图象称为余弦曲线. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)余弦函数y=cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称. (　　) (2)cos 1>cos 2>cos 3. (　　) (3)如果函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.下列函数中,周期为的是 (　　) A.y=sin x　　　　　　　　 B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos 4x 答案:D 3.函数y=cos x,x∈R图象的一条对称轴是 (　　) A.x轴 B.y轴 C.直线x= D.直线x= 答案:B 4.函数y=-2cos x的最大值为　　　　,此时x=　　　　　　.  解析:因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=-1时,ymax=-2×(-1)=2.此时x=2kπ+π,k∈Z. 答案:2　2kπ+π,k∈Z 题型(一)　余弦函数的图象及变换 [例1]　用“五点法”作出函数y=cos,x∈的简图. 解:列表如下: x - μ=x+ 0 π 2π y=cos μ 1 0 -1 0 1 描点作图(如图). |思|维|建|模| 　　在画函数y=Acos(ωx+φ)的图象时,所取的五点应由ωx+φ=0,,π,,2π来确定,而不是令x=0,,π,,2π. 　　[针对训练] 1.把函数y=cos x的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,然后将图象沿x轴负方向平移个单位,得到的图象对应的解析式为 (　　) A.y=sin 2x B.y=-sin 2x C.y=cos D.y=cos 解析:选B　函数y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位,得到y=cos=cos=-sin 2x的图象. 2.已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示,则f= (　　) A.0 B.-1 C.- D.-2 解析:选B　由题图得A=±2,周期T==π,∴ω=2,∴f(x)=Acos(2x+θ).又f(0)=Acos θ=,0≤θ≤,∴A=2,θ=. ∴f(x)=2cos,从而可求得f=2cos=-1. 题型(二)　余弦型函数的最值(值域)问题 [例2]　求下列函数的值域: (1)y=cos,x∈; (2)y=cos2x-4cos x+5. 解:(1)由x∈可得x+∈, 因为函数y=cos x在区间上单调递减, 所以函数的值域为. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当t=-1时,函数取得最大值10; 当t=1时,函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]. |思|维|建|模| 余弦型函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y=acos x型,可利用余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论. (2)形如y=Acos(ωx+φ)+b型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得cos(ωx+φ)的范围,最后求得最值. (3)形如y=Acos2x+Bcos x+C(A≠0)型,可利用换元思想,设t=cos x,转化为二次函数y=At2+Bt+C求最值.t的范围需要根据定义域来确定. 　　[针对训练] 3.函数f(x)=-2cos x+1,x∈的值域是 (　　) A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] 解析:选B　∵x∈,∴cos x∈[-1,1],∴-2cos x+1∈[-1,3]. 4.函数y=sin2x+cos x的值域为　　　　.  解析:设cos x=t,因为-≤x≤,则t∈, 所以y=1-cos2x+cos x=-+,t∈,故当t=,即x=±时,y的最大值为; 当t=1,即x=0时,y的最小值为1. 所以函数的值域为. 答案: 题型(三)　余弦函数的性质及应用 [例3]　(1)函数y=-cos x,x∈(0,2π)的单调性是 (　　) A.在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数 B.在,上是增函数,在上是减函数 C.在[π,2π)上是增函数,在(0,π]上是减函数 D.在上是增函数,在,上是减函数 (2)比较下列各组数的大小. ①cos,cos; ②cos,cos. 解析:(1)选A　函数y=-cos x的单调递减区间为[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),单调递增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z). ∵x∈(0,2π),∴y=-cos x在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数.故选A. (2)①cos=cos. ∵0<<<π,而y=cos x在[0,π]上单调递减, ∴cos>cos,即cos>cos. ②cos=sin. ∵0<<<,且y=sin x在上单调递增,∴sin<sin,即0<cos<sin<1. 而y=cos x在(0,1)上单调递减, ∴cos>cos. |思|维|建|模| 1.求三角函数周期的三种方法 (1)定义法. (2)公式法.对y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),T=. (3)观察法(图象法). 2.有关函数奇偶性的结论 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;偶函数的图象关于y轴成轴对称图形. (2)对于奇函数,当x=0属于定义域时必有f(0)=0.对于偶函数,任意属于定义域的x都有f(|x|)=f(x). 3.求函数y=Acos(ωx+φ)的单调区间的技巧 (1)求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以借助于余弦函数的单调区间,通过解不等式求得. (2)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正.②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入余弦函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时,同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间. 　　[针对训练] 5.(多选)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于点中心对称 D.函数f(x)在上是增函数 解析:选ABC　因为f(x)=sin=-sin=cos 2x,所以函数f(x)是偶函数,且最小正周期T==π,故A、B正确;由2x=kπ+(k∈Z),得x=+ (k∈Z),当k=0时,x=,所以函数f(x)的图象关于点中心对称,故C正确;当x∈时,2x∈[0,π],所以函数f(x)在上是减函数,故D不正确. 6.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由x∈(0,2π),ω>0,令z=ωx-, 则z∈, 画出y=2cos z+1的图象,如图所示, 要想函数f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-∈,解得ω∈.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $