7.3.2 正弦型函数的性质与图象(二)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的性质与图象，承接前期基础，通过参数A、ω、φ的实际意义切入，系统梳理由图象求解析式的方法，进而深入探究函数的周期、单调性、最值等性质及综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以“可见一斑”跨学科比喻导入，培养数学眼光，通过思考、即时练、例题及跟踪训练的螺旋式设计，提升数学思维，结合单摆运动、图象变换等实例强化数学语言应用。课中助力教师分层教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，巩固知识。

7．3.2　正弦型函数的性质与图象(二) 新课导入 学习目标 　　语文中的“可见一斑”比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 1.会求正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性、最值． 2．能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象求其解析式． 3．能利用y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象解决有关综合问题． 一　y＝A sin (ωt＋φ)中，常数A，φ，ω的实际意义 思考　若要确定三角函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，则需确定三角函数的哪些参数？ 提示：需确定A，ω，φ的值．其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期． [知识梳理] 1．振幅|A|：小球能偏离平衡位置的最大距离． 2．初相φ：在决定t＝0时小球的位置(即A sin φ)中起关键作用． 3．周期T＝：小球完成一次运动所需要的时间． 4．频率f＝：单位时间内能够完成的运动次数． [即时练] 1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，， B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3，－ 解析：选B.由题可知周期T＝＝6π，振幅为，初相为. 2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝. 又T＝＝π， 所以单摆频率为.故选A. 二　由图象求三角函数的解析式 [例1] 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式． 【解】　由题图可得A＝2，＝2， 即T＝8＝，所以ω＝， 可得f(x)＝2sin (x＋φ)， 又因为f(－1)＝2， 即×(－1)＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 可得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又由0<φ<π，所以φ＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (x＋). 　 已知图象求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 (1)如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． [跟踪训练1] 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f()＝________． 解析：由已知可得，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).又因为f(x)在x＝处取得最大值，所以有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin (2x－)，所以f()＝sin (2×－)＝sin ＝sin ＝. 答案： 三　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关性质 思考　如图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 提示：题图是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质．由此，我们可以推出整个函数的性质． [知识梳理] 函数 y＝A sin (ωx＋φ) 定义域 R 值域 [－|A|，|A|] 周期性 T＝ 图 象 对称 中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数 单调性 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递减区间 [例2] 已知函数f(x)＝sin ＋.求： (1)f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 【解】　(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)， 则x＝－＋(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). (3)当sin ＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，最小值为，此时x的取值集合是. 　 有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想的应用． [跟踪训练2] (多选)已知函数y＝sin (2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝sin (2x－φ)的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 解析：选AD.因为函数y＝sin (2x＋φ)在x＝处取得最大值， 所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 则φ＝＋2kπ(k∈Z)， 所以y＝sin (2x－φ)＝sin . 令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 即函数图象关于点(k∈Z)对称， 所以A正确，B不正确． 令2x－＝＋kπ(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 即函数图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称， 所以D正确，C不正确． 四　y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象的综合应用 [例3] (1)(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x－)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(，0)对称 B．函数f(x)的最小正周期为2π C．f(x)在区间[－，]上单调递增 D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象向右平移个单位得到的函数为 g(x)＝－2cos x (2)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为. ①求函数f(x)的解析式； ②若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间． 【解】　(1)选ACD.由于f(x)＝2sin (2x－)， 所以f()＝2sin (2×－)＝2sin 3π＝0， 故f(x)的图象关于点(，0)对称，A正确； 函数f(x)的最小正周期为＝π，故B错误； 当x∈[－，]时，2x－∈[－，]⊆[－，]， 故C正确； 将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin (x－)，再把图象向右平移个单位得到的函数为g(x)＝2sin (x－－)＝－2cos x，D正确．故选ACD. (2)①由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x) 的解析式为f(x)＝sin . ②将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位得到函数g(x)＝sin ＝sin 的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin ＝0，即sin ＝0，所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时g(x)＝sin .因为x∈，所以2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，g(x) 单调递增，当2x＋∈，即x∈时，g(x) 单调递增．综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和. 　 关于函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的解题策略 (1)验证法：直线x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间，此法适合选择题． (2)换元法：通过诱导公式及函数图象间的变换关系，得到所求函数的解析式，一般要化成一角一函数的形式，如y＝A sin (ωx＋φ).采取“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令z＝ωx＋φ，即通过y＝A sin z的性质，来研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质． [跟踪训练3] 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和． 解：(1)由题中函数f(x)的图象知A＝2. 又因为函数图象过(0，1)点， 所以f(0)＝1，所以sin φ＝. 因为|φ|<，所以φ＝. 由图象可知＝－＝，所以T＝π. 又因为T＝＝π，所以ω＝2. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin . (2)由(1)知f(x)＝2sin ，若<x<π，结合题图可知，当－2<m<0或<m<2时，直线y＝m与曲线y＝f(x) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． 所以实数m的取值范围为(－2，0)∪(，2). 当－2<m<0时，两个根的和为；当<m<2时，两个根的和为. 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象如图所示，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　) A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝ C．A＝，T＝ D．A＝，T＝ 解析：选D.由题图可知A＝(3－0)＝，设周期为T，则T＝－＝，得T＝. 2．(教材P51练习BT4改编)函数y＝2sin (x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　) A．[－2π，－] B．[－，] C．[，] D．[，2π] 解析：选B. 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，因为x∈[－2π，2π]，当k＝0时，－≤x≤，即函数的单调递增区间是[－，].故选B. 3．(多选)(2025·济南期中)已知函数f(x)＝sin ，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．将函数y＝f(x)上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象 C．f(x)图象的一个对称中心是 D．当x∈时，函数f(x)的值域是 解析：选AC.对于A，f(x)的最小正周期为＝π，A正确； 对于B，y＝sin [2－]＝sin ，B错误； 对于C，f＝sin ＝sin π＝0， 所以是f(x)图象的一个对称中心，C正确； 对于D，当x∈时，2x－∈， f(x)∈，D错误． 4．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期内的图象． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域． 解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8， 所以ω＝＝＝， 所以f(x)＝2sin . 将点(－1，0)代入， 得0＝2sin ， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin . (2)因为－1≤x≤2，所以0≤x＋≤， 所以0≤sin ≤1. 所以0≤2sin ≤2. 所以函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域为[0，2]. 　 1．已学习：由图象求三角函数的解析式；函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质及应用． 2．须贯通：涉及三角函数的图象与性质的综合问题，一般先要利用诱导公式及函数图象间的变换关系把三角函数式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，然后将ωx＋φ看作一个整体，借助正弦函数的性质解决问题． 3．应注意：(1)用代入法求参数φ时，一般代入最值点； (2)求函数最值时，应从函数定义域入手，实际问题中还应考虑自变量的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $