7.3.1 第1课时 正弦函数的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数的性质，以单位圆为起点，通过正弦线系统探究定义域、值域（最值）、奇偶性、周期性及单调性，构建从三角函数定义到性质应用的学习支架，衔接后续图象学习。 资料以问题驱动探究，如通过正弦线分析值域、诱导公式推导周期性，培养数学眼光与逻辑推理能力。例题与跟踪训练结合，规范解题表达，课中助力教师引导学生主动探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学语言应用能力。

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 新课导入 学习目标 　　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有着天然的联系，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．依据正弦线理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间及最值，会判断它的奇偶性． 一　正弦函数的定义域与值域（最值） 思考　利用前面学过的正弦线，如图所示，如何探究函数y＝sin x的值域？ 提示：由正弦线可以得到0≤||≤1.故y＝sin x的值域为[－1，1]. [知识梳理] 1．正弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x 与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．正弦函数的定义域与值域 因为任意角都有正弦，所以y＝sin x的定义域为R． 如图，由正弦线可以看出，的长度最大是1，最小是0.因此可知y＝sin x的值域为[－1，1]，而且当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x的最大值ymax＝1； 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x 的最小值ymin＝－1． [例1] (1)函数y＝的定义域为________________． (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 【解】　(1)为使函数有意义，需满足 即0<sin x≤. 由图可得函数的定义域为 . 故答案为≤x<π＋2kπ，k∈Z}． (2)当x∈时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3； 当x∈时，ymin＝－2×1＋1＝－1， 所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3]. 　 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. [跟踪训练1] (1)(多选)已知函数f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，则a，b的值为(　　) A．a＝2，b＝－7 B．a＝－2，b＝2 C．a＝－2，b＝1 D．a＝1，b＝－2 解析：选AC.因为f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是，所以0≤sin x≤1. 当a<0时，由题意解得 当a>0时，由题意解得 (2)求函数y＝cos2x－sinx在上的最值． 解：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx ＝－＋. 因为－≤x≤， 所以－≤sin x≤， 所以当x＝－，即sin x＝－时， 函数y＝cos2x－sinx取得最大值，ymax＝； 当x＝，即sin x＝时， 函数y＝cos2x－sinx取得最小值，ymin＝－. 二　正弦函数的奇偶性与周期性 思考　如何探究函数y＝sin x的奇偶性与周期性？ 提示：因为sin (－x)＝－sin x， 所以y＝sin x是奇函数． 因为sin (2kπ＋x)＝sin x，k∈Z， 所以T＝2kπ，k∈Z是y＝sin x的周期， 所以y＝sin x的最小正周期为2π. [知识梳理] 1．正弦函数的奇偶性 由诱导公式sin (－x)＝－sin x可知，正弦函数y＝sin x是奇函数，其图象关于原点中心对称． 2．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期． 3．正弦函数的周期性 由诱导公式sin (x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)，可知，当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性． [例2] 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin x(x∈R)； (2)f(x)＝|sin x|. 【解】　(1)因为x∈R，所以定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)， 所以f(x)＝sin x是奇函数． 因为sin x＝sin ＝sin ， 所以f(x)＝sin x的最小正周期是4π. (2)易知x∈R，f(－x)＝|sin (－x)|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 由f(x)＝|sin x|＝|sin (x＋kπ)|＝f(x＋kπ)，k∈Z， 可知f(x)的最小正周期为π. 　 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)当函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时，其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数． [跟踪训练2] (1)(多选)关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)有以下说法，正确的是(　　) A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数 B．存在φ，使f(x)是奇函数 C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数 D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数 解析：选BD.当φ＝π时，f(x)＝sin (x＋π)＝－sin x，是奇函数． 当φ＝时，f(x)＝sin (x＋)＝cos x，是偶函数，故A，C错误，B正确； 无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确． (2)判断等式sin ＝sin 是否成立．如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？ 解：sin ＝sin ＝sin ＝－sin ，而sin ＝－sin ，所以上述等式成立，但不能说明是函数y＝sin x的周期． 理由如下，若是函数y＝sin x的周期，则对任意的实数x，都有sin ＝sin x， 但当x＝0时，sin ≠sin x， 所以不是函数y＝sin x的周期． 三　正弦函数的单调性及应用 思考　利用前面所学的正弦线，如图所示，如何探究函数y＝sin x的单调性？ 提示：由正弦线可得y＝sin x在上递增，在上递减． [知识梳理] 一般地，正弦函数y＝sin x在区间(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减． [例3] (1)函数y＝2－sin x的单调递减区间为____________． (2)(对接教材例2)不求值，比较大小． ①sin 与sin ； ②sin 194°和cos 160°. 【解】　(1)当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2－sin x单调递减， 故y＝2－sin x的单调递减区间为 (k∈Z). 故答案为(k∈Z). (2)①sin ＝sin ＝sin ， sin ＝sin ＝sin . 因为函数y＝sin x在上单调递增， 且－<－<<， 所以sin ＜sin ， 即sin ＜sin π. ②sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增， 且0°<14°<70°<90°， 所以sin 14°<sin 70°， 所以－sin 14°>－sin 70°， 即sin 194°>cos 160°. 　 (1)求形如y＝a sin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝a sin x＋b的单调递增区间，即求y＝sin x的单调递减区间． (2)比较三角函数值大小的方法 ①同名函数：若两角在同一单调区间内，直接利用单调性得出；若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较． ②异名函数：先利用诱导公式转化为同名函数，再比较． [跟踪训练3] (1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．cos 10°<sin 168°<sin 11° 解析：选C.因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. (2)若x∈[0，π]，则函数y＝1－3sin x的单调递减区间为____________． 解析：当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝1－3sin x单调递减． 若x∈[0，π]， 因为(k∈Z)∩[0，π]＝， 所以当x∈[0，π]时， y＝1－3sin x的单调递减区间为. 答案： 1．对于函数f(x)＝sin x＋1，下列选项中不正确的是(　　) A．f(x)在上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析：选B.因为函数y＝sin x在上单调递增，所以f(x)＝sin x＋1在上单调递增，故A正确；因为f(－x)＝sin (－x)＋1＝－sin x＋1≠－f(x)，故B不正确；f(x) 的最小正周期为2π，故C正确；f(x)的最大值为1＋1＝2，故D正确． 2．(教材P43练习AT1改编)已知2a－1－3sin x＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．[0，1] C．(0，1) D．[－1，2] 解析：选D.由题意得2a－1＝3sin x，因为sin x∈[－1，1]，所以－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2. 3．(教材P43练习AT3改编)函数y＝9－sin x的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选B.易知函数y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同， 即(k∈Z). 4．sin 与sin 的大小关系为______________．(用“>”连接) 解析：sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ， sin ＝sin ＝sin ， 因为0<<<， 且y＝sin x在上递增， 所以sin >sin ， 即sin >sin . 答案：sin >sin 　 1．已学习：正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的定义域与最值(值域). 2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域). 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时忽视sin x本身具有的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $