7.2.4 第2课时 诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式⑤⑥⑦⑧，在诱导公式①～④及单位圆知识基础上，通过观察角α与±α、±α终边关系推导新公式，构建完整诱导公式体系，可用于三角函数化简、求值与证明。 该资料以单位圆为载体，通过“思考”引导学生用数学眼光观察角终边对称与垂直关系，结合“函数名改变，符号看象限”口诀培养数学思维与语言。即时练、例题及跟踪训练设计，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧ 新课导入 学习目标 同学们，前面我们利用单位圆定义了三角函数，并推出了诱导公式①～④，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘． 1.在诱导公式①～④的基础上，理解诱导公式⑤～⑧的推导过程并熟记诱导公式． 2．能够运用诱导公式求值、化简，掌握诱导公式的综合应用． 一　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧ 观察如图单位圆及角α与－α的终边． 思考1　角α的终边与－α的终边有何关系？ 提示：两角的终边关于直线y＝x对称． 思考2　若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？ 提示：点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x). 思考3　类似地，角α的终边与＋α的终边又有什么关系？角＋α的终边与单位圆的交点P3的坐标与P1的坐标有什么关系？ 提示：角α的终边与＋α的终边垂直；点P3的横坐标与点P1的纵坐标互为相反数，P3的纵坐标与P1的横坐标相等． [知识梳理] 1．诱导公式⑤ sin ＝cos_α；cos ＝sin_α． 2．诱导公式⑥ sin ＝cos_α；cos ＝－sin_α． 3．诱导公式⑦ cos ＝sin_α；sin ＝－cos_α． 4．诱导公式⑧ cos ＝－sin_α；sin ＝－cos_α． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)诱导公式⑤⑥⑦⑧中的角α只能是锐角．(　　) (2)若α为第二象限角，则sin (＋α)＝cos α.(　　) (3)对任意角α， sin (－α)＝sin α都不成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin (α－)＝cos α B．cos (α－π)＝－cos α C．tan (－α－π)＝－tan α D．cos (＋α)＝－sin α 解析：选ABC.对于A，sin (α－)＝－sin (π＋－α)＝sin (－α)＝cos α，故A正确；对于B，cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α，故B正确；对于C，tan (－α－π)＝－tan (α＋π)＝－tan α，故C正确；对于D，cos (＋α)＝cos (2π＋＋α)＝cos (＋α)＝sin α，故D错误．故选ABC. 3．计算：sin211°＋sin279°＝________． 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1 4．已知cos81°＝m，那么sin 729°＝________． 解析：sin 729°＝sin (360°×2＋9°)＝sin 9°＝sin (90°－81°)＝cos 81°＝m. 答案：m 　 公式⑤～⑧的记忆方法与口诀 (1)方法：±α，±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号． (2)口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”． 二　利用诱导公式化简求值 [例1] (1)(对接教材例8)化简： ＝(　　) A．－1 B．1 C．tan2α D．－tanα (2)已知cos ＝，则sin ＝________________. 【解析】　(1)原式＝ ＝－＝－tan α.故选D. (2)sin ＝sin ＝cos ＝. 【答案】　(1)D　(2) 母题探究　若本例(2)条件改为“sin ＝，且α是第三象限角”，求sin 的值． 解：因为α是第三象限角， 所以－α是第二象限角， 又sin ＝， 所以－α是第二象限角， 所以cos ＝－， 所以sin ＝sin ＝－sin ＝－sin ＝－cos ＝. 　 (1)利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定． (2)解题的主要步骤：去负—脱周—化锐． [跟踪训练1] (1)若cos (α－)＝，则sin (－α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.因为cos (α－)＝， 即cos [(α－)－]＝，所以sin (α－)＝， 则sin (－α)＝sin [－(α－)]＝－sin (α－)＝－. 故选A. (2)(2025·营口期中)已知sin (α－3π)＝2sin (－α＋)，则＝________． 解析：由sin (α－3π)＝2sin (－α＋)得－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，故＝＝＝. 答案： 三　利用诱导公式证明恒等式 [例2] 求证：＋ ＝. 【证明】　等式左边 ＝＋ ＝＋＝＝＝等式右边， 所以原等式成立． 　 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． [跟踪训练2] 求证：＝.　 证明：等式左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 等式右边＝＝ ＝＝. 所以原等式成立． 1．(教材P34 T2(1)改编)已知sin (－α)＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.因为sin (－α)＝，所以cos α＝.故选D. 2．(多选)cos (＋α)＝(　　) A．sin (＋α) B．sin (－α) C．cos (－＋α) D．cos (－α) 解析：选BD.sin (＋α)＝sin [π＋(＋α)]＝－sin (＋α)，A错误； sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)，B正确； cos (－＋α)＝cos (－π＋＋α)＝－cos (＋α)，C错误； cos (－α)＝cos [2π－(＋α)]＝cos (＋α)，D正确．故选BD. 3．(教材P34T3(3)改编)化简：＝________． 解析：＝ ＝＝1. 答案：1 4．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，求证：sin (＋)＝cos (－). 证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，则＝. 所以cos (－)＝cos (－) ＝cos (－－)＝cos [－(＋)] ＝sin (＋)，故原等式得证． 　 1．已学习：诱导公式⑤⑥⑦⑧及应用，利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．须贯通：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原三角函数值的符号． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称改变． 学科网（北京）股份有限公司 $