7.2.4 第1课时 诱导公式①，②，③，④（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦诱导公式①②③④的推导与应用，衔接终边相同角三角函数值相等的已有知识，通过终边关于原点、x轴、y轴对称关系，构建“负化正→大化小→锐角求值”的转化支架，系统梳理公式推导过程与记忆方法。 以“数学眼光”观察终边对称性，通过思考问题引导发现角的关系，以“数学思维”推导公式逻辑，结合例题展示“函数名不变，符号看象限”的应用，课中助力教师清晰授课，课后练习题与知识梳理帮助学生查漏补缺，强化转化与推理能力。

7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①，②，③，④ 新课导入 学习目标 　　同学们，我们知道角α与角α＋2kπ(k∈Z)的终边相同，那么我们可以利用这一点把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解呢？ 1.理解诱导公式①，②，③，④的推导方法． 2．能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明． 一　诱导公式①，②，③，④ 思考1　我们是如何定义三角函数的？ 提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等． 思考2　 如图，角α的终边OP绕原点O旋转无数周后的三角函数值与α对应的三角函数值相等吗？ 有什么规律？ 提示：相等；成周期性变化，每转一周，重复一次． 思考3　画图观察角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P2关于原点对称． [知识梳理] 角 α＋2kπ (k∈Z) －α π－α π＋α 图示 与角α终 边的关系 相同 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点 对称 公式 ① ② ③ ④ 正弦 sin (α＋2kπ) ＝sin_α (k∈Z) sin (－α)＝ －sin_α sin (π－α)＝ sin_α sin (π＋α)＝ －sin_α 余弦 cos (α＋2kπ) ＝cos_α (k∈Z) cos (－α)＝ cos_α cos (π－α)＝ －cos_α cos (π＋α)＝ －cos_α 正切 tan (α＋2kπ) ＝tan_α (k∈Z) tan (－α)＝ －tan_α tan (π－α)＝ －tan_α tan (π＋α)＝ tan_α 记忆 口诀 函数名不变，符号看象限 点拨　诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是方便记忆公式，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. [例1] (对接教材例3)求下列三角函数值． (1)sin 1 320°； (2)cos ； (3)sin ＋tan －cos . 【解】　(1)sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－. (2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. (3)sin ＋tan －cos ＝sin ＋tan －cos ＝sin ＋tan －cos ＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0. 　 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [跟踪训练1] (1)(多选)下列各式中，值为 的是(　　) A．sin B．sin (－210°) C．cos D．tan 240° 解析：选AB.sin ＝sin (π－)＝sin ＝，A正确；sin (－210°)＝－sin (180°＋30°)＝sin 30°＝，B正确；cos ＝cos (2π－)＝cos ＝，C错误；tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝×＝，D错误．故选AB. (2)计算：＝________． 解析： ＝ ＝＝＝－1. 答案：－1 二　给值（式）求值 [例2] (1)若sin (π－α)＝－，且α∈(－，0)，则cos (π＋α)的值为(　　) A．± B． C．－ D． (2)已知α为锐角，若cos (α＋)＝，则cos (α＋)＝________． 【解析】　(1)由sin (π－α)＝－， 得sin α＝－，而α∈(－，0)， 于是cos α＝＝＝， 所以cos(π＋α)＝－cos α＝－.故选C. (2)因为cos (α＋)＝， 所以cos (α＋)＝cos [(α＋)＋π] ＝－cos (α＋)＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 母题探究　本例(2)条件不变，求sin (－α)＝________． 解析：因为α为锐角，且cos (α＋)＝， 所以α＋也是锐角， 所以sin (α＋)＝＝＝. sin(－α)＝sin [π－(α＋)]＝sin (α＋)＝. 答案： 　 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟踪训练2] (1)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则sin (255°＋α)＝_______________________. 解析：因为－180°<α<－90°， 所以－105°<75°＋α<－15°， 又cos (75°＋α)＝， 所以sin (75°＋α)＝－＝－， 所以sin (255°＋α)＝sin (180°＋75°＋α) ＝－sin (75°＋α)＝. 答案： (2)(2025·日照月考)已知sin (－π－α)＝，且α为第二象限角，则＝________． 解析：因为sin (－π－α)＝，所以－sin (π＋α)＝，所以sin α＝.因为α为第二象限角，所以cos α＝－，所以＝＝cos α＝－. 答案：－ 三　利用公式进行化简 [例3] (对接教材例5)化简： (1)； (2). 【解】　(1)原式＝ ＝ ＝－tan α. (2)当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝＝； 当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝＝－. 故原式＝ 　 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数． [跟踪训练3] (1)已知f(α)＝，则f(－)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.f(α)＝ ＝ ＝＝－sin α. 所以f(－)＝－sin (－)＝sin ＝sin (4π＋)＝sin ＝.故选A. (2)＝__________________. 解析：原式＝ ＝＝－1. 答案：－1 1．(教材P33T2(2)改编)计算：cos (－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由诱导公式可得， cos (－)＝cos ＝cos (5π＋)＝cos (π＋)＝－cos ＝－. 故选A. 2．(多选)设sin (3π－α)＝，α∈(，π)，以下正确的是(　　) A．tan α＝ B．tan α＝－ C．cos α＝ D．cos α＝－ 解析：选BD.因为sin (3π－α)＝sin α＝，α∈(，π)， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以tanα＝＝－.故选BD. 3．sin ＋cos －tan (－)＝________． 解析：sin ＋cos －tan (－) ＝sin (2π＋)＋cos (4π＋)－tan (－6π＋) ＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝0. 答案：0 4．已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°. (1)求sin (127°＋α)的值； (2)求cos (233°－α)的值． 解：(1)因为sin (53°－α)＝， 所以sin (127°＋α)＝sin [180°－(53°－α)]＝sin (53°－α)＝. (2)因为sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°， 所以143°<53°－α<323°，又sin (53°－α)＝>0， 所以143°<53°－α<180°， 所以cos (53°－α)＝－ ＝－＝－， 所以cos(233°－α)＝cos [180°＋(53°－α)] ＝－cos (53°－α)＝. 　 1．已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式①，②，③，④及应用． 2．须贯通：诱导公式①～④在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正→大化小→锐角→求值． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称不变． 学科网（北京）股份有限公司 $