7.2.3 同角三角函数的基本关系式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦同角三角函数基本关系式这一核心知识点，以三角函数定义（角α终边与单位圆交点坐标x,y）为起点，通过观察数据表格、单位圆验证推导平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα），构建“定义-探究-应用”的学习支架，系统覆盖求值、化简、证明三大应用场景。 该资料突出“用数学眼光观察”“用数学思维思考”特色，导入通过单位圆坐标提问引导发现规律，例题结合象限分析符号培养逻辑推理，跟踪训练与母题探究强化“切化弦”等技巧。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题解析与练习查漏补缺，提升数学表达与应用能力。

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 新课导入 学习目标 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α间的联系？它们之间到底有什么样的联系，就让我们一起去探索发现！ 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 一　同角三角函数的基本关系式 思考1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 思考2　如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？ 提示：若余弦不为0，则正切等于正弦与余弦的比值， 即tan α＝＝； 因为点P在单位圆上， 则由勾股定理得x2＋y2＝1， 即sin2α＋cos2α＝1. [知识梳理] 1．基本关系 类别 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 2.公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 点拨　(1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的． [例1] (对接教材例1)(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α； (2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【解】　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝， 又α是第二象限角， 所以cosα＝－，tan α＝＝－. (2)由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝. 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角时，则cos α＝， sin α＝；当α是第三象限角时，则cos α＝－， sin α＝－. 　 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解． (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解． 提醒　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论． [跟踪训练1] (1)已知α为第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由题意，sin α＝－cos α， 即cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立可得sin 2α＝. 又α为第四象限角，则sin α＝－.故选B. (2)若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C.因为tan θ＝，故＝， 即4sin2θ＝cos2θ，所以sin2θ＋cos2θ＝5sin2θ＝1， 因为θ∈(0，)，故sinθ＝，cos θ＝. 故sin θ－cos θ＝－＝－. 二　基本关系的简单应用 角度1　利用弦切互化求值 [例2] 已知＝1. (1)求tan α的值； (2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值． 【解】　(1)方法一：＝1，等式左边的分子，分母同除以cos α得，＝1， 即5tan α＋3＝4tan α－2，解得tan α＝－5. 方法二：由＝1可得4sin α－2cos α＝5sin α＋3cos α，即sin α＝－5cos α， 所以tan α＝＝－5. (2)2sin2α－3cos2α＋sinαcos α ＝ ＝＝ ＝. 　 tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． [跟踪训练2] 已知tan α＝2，计算： (1)；(2)cos αsin α. 解：(1)因为tan α＝2， 所以＝＝＝3. (2)因为tan α＝2，所以cos αsin α＝＝＝＝. 角度2　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 [例3] 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，求： (1)sin αcos α的值；(2)sin α＋cos α的值． 【解】　(1)由sin α－cos α＝可得(sin α－cos α)2＝⇒1－2sin αcos α＝⇒sin αcos α＝. (2)由sin αcos α＝>0和α∈(0，π)可得sin α>0，cos α>0，故α∈(0，)，故(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝⇒sin α＋cos α＝. 母题探究　本例条件不变，求tan α的值． 解：由本例(2)可知sin α＋cos α＝，再结合已知条件sin α－cos α＝，联立方程组，解得sin α＝，cos α＝，所以tan α＝. 　 sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ. 注意　求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号． [跟踪训练3] 已知sin α＋cos α＝，则sin4α＋cos4α＝________． 解析：由题意sinα＋cos α＝， 得(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝， 所以sin αcos α＝－， 所以sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×(－)2＝. 答案： 三　三角函数式的化简与证明 角度1　三角函数式的化简 [例4]化简： (1)－； (2)； (3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α. 【解】　(1)原式 ＝ ＝＝＝－2tan2α. (2)原式＝ ＝＝1. (3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝ ＝＝. 母题探究　在本例(2)中，将式子中的“10°”换成“锐角α”，化简. 解：＝ ＝＝＝1. 　 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [跟踪训练4] 化简：＋(1＋tan2α)·cos2α. 解：原式＝＋(1＋)·cos2α ＝＋·cos2α ＝1＋1＝2. 角度2　三角函数式的证明 [例5](对接教材例5)求证：＝. 【证明】　方法一：左边 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝右边． 所以原等式成立． 方法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α ＝sin αcos α－cos2α＋cosα ＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α) ＝cosα(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α) ＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)， 且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0， 所以＝. 　 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． [跟踪训练5] 求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋)＝＋. 证明：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋)＝sin α·(1＋)＋cos α(1＋)＝sin α＋＋cos α＋＝sin α＋cos α＋＋＝sin α＋cos α＋－cos α＋－sin α＝＋.所以原式成立． 1．若α为第三象限角，则 的值为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 解析：选D.因为α为第三象限角，则sin α<0，因此，＝＝－＝－2.故选D. 2．(多选)(教材P26练习AT1(1)改编)已知θ∈(－，)，且sin θ＝，则关于θ表述正确的是(　　) A．θ＝ B．cos θ＝－ C．tan θ＝ D．tan θ＝ 解析：选AD.因为θ∈(－，)， 且sin θ＝，所以θ∈(0，)， 则θ＝，cos θ＝，tan θ＝.故选AD. 3．(教材P26练习BT2(4)改编)已知＝4，则tan θ＝____________． 解析：因为＝4， 所以＝4，解得tan θ＝. 答案： 4．(1)化简：； (2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α. 解：(1)原式＝ ＝＝cos2θ. (2)证明：右边＝tan 2α－sin 2α ＝－sin 2α ＝sin 2α(－1) ＝sin 2α· ＝sin 2α· ＝sin 2αtan 2α＝左边， 所以原等式成立． 　 1．已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法． 3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号． 学科网（北京）股份有限公司 $