第7章 7.2.3 同角三角函数的基本关系式（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦同角三角函数基本关系式这一核心知识点，通过终边上点的三角函数值实例引导推导平方关系与商数关系，明确成立条件及变形公式，构建“实例引入—结论形成—应用拓展”的学习支架，系统覆盖求值、化简与证明三大应用场景。 资料以问题驱动培养逻辑推理素养，如通过“已知sinα+cosα求sinαcosα”探究关系，分层题型设计（如齐次式求值、三角恒等式证明）强化数学运算能力，纠错环节规范解题步骤。课中助力教师分层次教学，课后学生可通过典型例题与纠错心得自查自纠，有效查漏补缺。

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 学业标准 学科素养 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系．(难点) 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(重点、难点) 1.通过推导同角三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养． 导学 同角三角函数的基本关系 　已知角α终边上一点P(－3，－4). (1)求sin α，cos α，tan α的值． (2)计算sin2α＋cos2α，的值． (3)是否对任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，＝tan α成立？若成立，试证明． [提示]　(1)sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. (2)1； (3)是．利用三角函数定义证明(略). ◎结论形成 1．同角三角函数的基本关系式成立的条件 当α∈R时，sin2α＋cos2α＝1成立； 当α≠kπ＋，k∈Z时，＝tan α成立． 2．关系式的变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ [点拨]　 对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin2 20°＋cos2 20°＝1.(　　) (2)对任意的角α，都有tan α＝成立．(　　) (3)sin2α＋cos2β＝1.(　　) (4)若cos α＝，则sin α＝.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列等式中恒成立的个数为(　　) ①sin21＝1－cos21； ②sin2α＋cos2α＝sin23＋cos23； ③sin α＝tan αcos α. A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 3．已知α∈，且sin α＝，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　由sin α＝，α∈得 cos α＝－＝－， 所以tanα＝＝－，故选B. 答案　B 4．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α值为 ． 解析　cos α＝＝÷＝－. 答案　－ 题型一　利用同角三角函数的基本关系式求值 角度1　已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值 　[教材例1提升](1)已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　) A． B．－ C． D．－ (2)已知tan α＝－，则sin α的值为 ． [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＝＝＝， ∴tanα＝＝＝－. (2)∵tan α＝－，∴＝， 即＝，解得sinα＝±. [答案]　(1)D　(2)± 已知角的一个三角函数值求其他 三角函数值的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果．　 角度2　已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值 　(1)已知tan α＝2，则＝(　　) A．－2 B．3 C．6 D．7 (2)已知＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝(　　) A． B． C． D．－ [解析]　(1)因为tan α＝2，所以＝＝＝7，故选D. (2)∵＝＝2，∴tan α＝， 则cos2α＋sinαcos α＝＝＝. [答案]　(1)D　(2)A [素养聚焦]　在本例中，通过利用三角函数基本关系求三角函数值的计算，培养数学运算核心素养． 已知角α的正切求关于sinα，cos α 的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．　 [触类旁通] 1．(1)已知tan α＝－，且α为第二象限角，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2025·吉林长春期末)已知tan α＝4，则的值为 ． 解析　(1)因为tan α＝－，所以sin α＝－cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以2＋cos2α＝1， 所以cos2α＝，又α为第二象限角， 所以cosα＝－. (2)原式分子分母同时除以cos α得＝＝＝7. 答案　(1)A　(2)7 题型二　三角函数式的化简与证明 　(1)化简：sin2αtanα＋＋2sin αcos α； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. [解析]　(1)原式 ＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝ ＝＝. (2)证明　因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2， 所以＋1＝2， 通分可得＝， 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 1．证明恒等式常用的思路是①从一边证到另一边，一般由繁到简；②两边“凑”，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差、作比法). 2．常用的技巧有①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式). 3．解决此类问题要有整体代换思想．　 [触类旁通] 2．求证：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 题型三　sin α±cos α与sin α·cos α之间关系的应用 　(多选题)(2025·江苏徐州月考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则(　　) A．<α<π B．sin αcos α＝－ C．cos α－sin α＝ D．cos α－sin α＝－ [解析]　对A，B，由题意 2＝， 即 1＋2sin αcos α＝， 故sin αcos α＝－，故B正确； 因为α∈(0，π)，故sin α>0，cos α<0，则<α<π，故A正确； 对C，D，2＝1－2sin αcos α＝，因为<α<π，故cos α－sin α＝－，故C错误，D正确． [答案]　ABD 1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．　 [触类旁通] 3．(2025·江苏淮安月考)若＝，则sin2α－cos2α＝(　　) A．－5 B．5 C． D．－ 解析　因为＝＝＝，解得tan α＝5，因此，sin2α－cos2α＝＝＝＝＝. 答案　C [缜密思维提能区] 规范答题 忽视角的取值范围致误 [典例]　(13分)若sinA＝，且A是三角形的一个内角，求的值． [规范解答]　因为sin A＝，A∈(0，π)，(1分) 所以cos A＝±＝±.(5分) 当cosA＝时， ＝＝6；(9分) 当cos A＝－时， ＝＝－.(13分) [纠错心得] 1．在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所需要的符号． 2．要明确三角函数在每个象限内的符号，要记准并应用熟练． 3．解答题中的最后答案要准确、完整并且规范． 知识落实 技法强化 (1)同角三角函数的基本关系式． (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明． (1)本节课应用了由部分到整体、整体代换的思想方法． (2)求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $