7.2.1 三角函数的定义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦任意角的三角函数定义这一核心知识点，从初中锐角三角函数出发，通过单位圆及终边上点的坐标（x,y）与距离r，构建sinα=y/r、cosα=x/r、tanα=y/x（x≠0）的定义体系，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 该资料以水车转动情境导入培养数学眼光，通过思考问题链（相似变化、单位圆坐标表示）发展数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过母题探究和练习题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 新课导入 学习目标 江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示． 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2．会利用任意角的三角函数的定义求值． 一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 思考2　如图，如果一个锐角α的终边与圆心在原点，半径为1的圆⊙O交于点P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 思考3　如图，如果一个角α的终边上有点P(x，y)，是否能用点P的坐标表示角α的sin α，cos α，tan α？ 提示：设OP＝r＝，根据三角形的相似性，易得sin α＝，cos α＝， tan α＝(x≠0). [知识梳理] 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 一般地，称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 一般地，称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ 角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数 [例1] (对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5， 所以sin α＝－，cos α＝， 所以cos α＋sin α＝＋(－)＝.故选C. 【答案】　C 母题探究　将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值． 解：当a>0时，sin θ＝＝－， cos θ＝＝，tan θ＝＝－； 当a<0时，sin θ＝＝， cos θ＝＝－， tan θ＝＝－. 综上所述，tan θ＝－； 当a>0时，sin θ＝－，cos θ＝； 当a<0时，sin θ＝，cos θ＝－. 　 坐标法求三角函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值． [跟踪训练1](1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)， 所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A. (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝____________. 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，由三角函数的定义可得tan α＝＝. 答案： 二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 [知识梳理] 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负． 余弦：一四象限正，二三象限负． 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [例2] (对接教材例4、例5)(1)设角α的始边为x轴的正半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)tan 125°sin 223°___________0.(填“>”或“<”) 【解析】　(1)当sin α>0时，取α＝，满足sin α>0，但此时角α的终边在第一象限，即充分性不成立； 当角α的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，故sin α＝>0，即必要性成立； 所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B. (2)因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0， 所以tan 125°sin 223°>0. 【答案】　(1)B　(2)> 　 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限； (2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． [跟踪训练2] (1)当x为第四象限角时，＋＋＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：选B.由x为第四象限角， 则sin x<0，cos x>0，tan x<0， 所以＋＋＝＋＋＝－1. 故选B. (2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限． 解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为 cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴负半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限． 答案：二 三　三角函数定义的综合应用 [例3] (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 (2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝________． 【解析】　(1)因为sin θ＝－<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值已舍去).故选A. (2)因为角α的终边在直线3x＋y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限．当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)，则点P到原点的距离r＝＝，所以cos α＝＝＝－. 当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)， 则点P′到原点的距离r′＝＝， 所以cos α＝＝. 综上，cos α＝或cos α＝－. 【答案】　(1)A　(2)或－ 　 (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，求解时应注意分类处理． [跟踪训练3] 在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与圆心在原点，半径为1的圆交于点P，若α＝kπ－(k∈Z)，则符合条件的点P的坐标可以是________． 解析：由三角函数的定义可知，角α的终边与单位圆相交于点P. 当k为偶数时，角α与－的终边相同， 则P的坐标满足 当k为奇数时，角α与的终边相同， 则P的坐标满足 故符合条件的点P的坐标是(，－)和(－，). 答案：(，－)或(－，)(写出一个即可) 1．sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.在平面直角坐标系中作∠AOB＝，在终边OB上取点P，使OP的长为1. 由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA＝，因此可得点P的坐标为(，－)，所以sin ＝－.故选C. 2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，)，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C.由角α的终边经过点(－，)， 所以r＝＝， 根据任意角三角函数定义得cos α＝＝－. 3．(教材P18T1改编)已知平面直角坐标系xOy，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴正半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点P的纵坐标为________． 解析：由题意，点P顺时针旋转了60°， 故∠xOP＝30°，sin ∠xOP＝， 所以yP＝2sin ∠xOP＝1. 答案：1 4．(教材P17T1改编)已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值． 解：因为角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，所以令x＝5a，y＝12a(a<0)， 所以P到原点的距离r＝＝＝13|a|，因为a<0，所以r＝－13a， 所以sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝. 　 1．已学习：三角函数的概念；三角函数值的求法；三角函数在各象限的符号． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：角α的正切函数有意义需满足{α|α≠＋kπ，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $