7.1.1 角的推广（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“角的推广”核心知识点，从初中0°-360°角的定义扩展到任意角（正角、负角、零角），进而学习终边相同的角的集合表示、象限角的判定与集合表示及区域角的表示，构建递进式学习支架。 资料以体操、跳水等现实情境导入，引导学生用数学眼光观察旋转现象，通过思考问题和分类讨论培养数学思维，用集合语言精确表达角的关系体现数学语言运用。课中例题与即时练助力理解，课后总结与练习帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

7．1　任意角的概念与弧度制 7．1.1　角的推广 新课导入 学习目标 同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围． 1.了解任意角的概念，能区分各类角． 2．掌握终边相同的角的含义及其表示方法． 3．掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角． 一　角的概念的推广 思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°. 思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？ 提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向． 思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？ 提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍． [知识梳理] 1．角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边． 2．角的分类 名称 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有旋转，此时将其看成零角 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 3．角的加减运算的几何意义(β>0°) (1)α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β. (2)α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)终边与始边重合的角是零角．(　　) (2)终边与始边都相同的两个角一定相等．(　　) (3)小于90°的角是锐角．(　　) (4)第二象限角是钝角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________． 解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°. 答案：150° 3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为_____________. 解析：因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°，分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°. 答案：－100°　－1 200° 　 任意角的理解 (1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念． (2)处理任意角问题的两个关键点． ①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角． ②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小． 二　终边相同的角 思考　如图所示，60°角的终边是OA. －660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？如何表示与60°角终边相同的角？ 提示：相同.60°＋k·360°(k∈Z). [知识梳理] 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应的元素为α． 角度1　求与已知角终边相同的角 [例1] (对接教材例2)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 【解】　(1)与角α终边相同的角为β＝－1 845°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°， 故在与α终边相同的角中，最小的正角为315°. (2)由(1)可知，在与α终边相同的角中，最大的负角为－45°. (3)由(1)知，当k＝4时，β＝－405°；当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°； 当k＝7时，β＝675°；当k＝8时，β＝1 035°. 因此，在与α终边相同的角中，在－360°～720°之间的角为－45°，315°，675°. 　 求在某范围内与已知角终边相同的角的基本思路 求与已知角α终边相同的角，先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定k的值，求出满足条件的角． 角度2　终边在已知直线上的角的表示 [例2] (对接教材例4)写出终边在如图所示的直线上的角的集合． 【解】　(1)由题图1易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°， 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为 S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝－45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}∪{β|β＝－45°＋2(k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋n·180°，n∈Z}． (2)同理由题图2可得终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}， 由(1)得终边在直线y＝－x上的角的集合为{β|β＝－45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋2k·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}，所以终边在直线y＝x上和在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}． 　 求终边在某条直线上的角的集合的步骤 (1)在0°～360°范围内，找到终边在所给直线上的角α及角α＋180°； (2)分别写出与角α及角α＋180°终边相同的角的集合，然后求其并集． 常见结论如下：终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}； 终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}． [跟踪训练1] (1)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　) A．390° B．－30° C．30° D．－370° 解析：选AC.因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以，与－330°角终边相同的角是390°，30°，其他选项均不符合题意．故选AC. (2)终边在直线y＝x上的角β的集合S＝____________________． 解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即30°，210°(如图)，所以终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}． 答案：{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z} 三　象限角 [知识梳理] 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角． 如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 角度1　象限角的判定 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)第一象限的角一定是正角．(　　) (2)第四象限角大于第三象限角．(　　) (3)锐角都是第一象限角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2. 211°是第________象限角；若α是第四象限角，则－α是第________象限角． 解析：因为180°<211°<270°，故211°是第三象限角；若α是第四象限角，则α的终边在第四象限，又－α的终边与α的终边关于x 轴对称，所以－α的终边在第一象限，所以－α是第一象限角． 答案：三　一 　 象限角的判定方法 (1)根据图象判定：利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系； (2)将角转化到0°～360°范围内：在平面直角坐标系内，0°～360°之间没有两个角的终边是相同的． 角度2　象限角的集合表示 [例3] 若α是第一象限角，则角2α，各是第几象限角？ 【解】　因为α是第一象限角， 所以k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，(*) 所以k·720°<2α<k·720°＋180°(k∈Z). 故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角． 方法一：由(*)式得k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z).　 ①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°<<n·360°＋45°(n∈Z)，这表明是第一象限角． ②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<<n·360°＋225°(n∈Z)，这表明是第三象限角． 综合①②知，是第一或第三象限角． 方法二：如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为的终边所在的区域，故是第一或第三象限角． 母题探究1　若α是第三象限角，则是第几象限角？ 解：如本例方法二解析图所示，标有Ⅲ的区域即为的终边所在的区域，故是第二或第四象限角． 母题探究2　若α是第一象限角，则是第几象限角？ 解：如图， 将各象限分成三等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为的终边所在的区域，故是第一、第二或第三象限角． 　 由α所在象限确定nα或所在象限的方法 (1)用不等式表示α的范围，再确定nα或的范围，再判断角所在象限． (2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限，即求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按逆时针方向顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可． [跟踪训练2] (多选)角的终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 解析：选ABC.因为角的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋k·720°<θ<540°＋k·720°，k∈Z.所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．故选ABC. 四　区域角的表示 [例4] 写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． 【解】　(1)在0°～360°范围内，题图1中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°，因此，阴影部分区域所表示的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． (2)题图2中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}， 题图2中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}， 因此，阴影部分区域所表示的角的集合为 {α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． 　 表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，所以{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合． [跟踪训练3] 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 1．某次数学考试从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　) A．360° B．720° C．－360° D．－720° 解析：选D.因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D. 2．(多选)已知α是锐角，则(　　) A．180°＋α是第三象限角 B．2α是小于180°的正角 C．2α是第一或第二象限角 D．是锐角 解析：选ABD.由题知，因为α是锐角，所以0°<α<90°，对于A，所以180°<180°＋α<270°，故A正确；对于B，C，0°<2α<180°，故B正确，C错误；对于D，0°<<45°，故D正确．故选ABD. 3．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是____________________．　 解析：终边落在题图中阴影部分第二象限边界线的角为k·360°＋120°，k∈Z，终边落在题图中阴影部分第四象限边界线的角为k·360°－45°，k∈Z.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 答案：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 4．(教材P7练习AT4改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1 080°， 即360°≤k·360°＋75°<1 080°时， 解得≤k<. 又k∈Z， 所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°； 当k＝2时，β＝795°. 综上所述，在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角为435°和795°. 　 1．已学习：正角、负角、零角的概念；象限角、终边相同的角、区域角的表示． 2．须贯通：任意角的概念中，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小，区域角用不等式表示的步骤，分类讨论与数形结合相互渗透． 3．应注意：终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z；表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角． 学科网（北京）股份有限公司 $