7.1.2 弧度制及其与角度制的换算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦弧度制概念、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式，前承角度制，通过定义1弧度角实现线段与弧度量统一，后为三角函数学习奠基，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以历史情境引入培养数学眼光，通过问题驱动与题型分层（概念辨析、互化、扇形应用）强化数学运算。课中助教师系统教学，课后跟踪训练与母题探究帮助学生查漏补缺，提升核心素养。

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 课标要求 1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化（数学抽象）. 2.理解弧度制下扇形的弧长与面积公式（数学运算）. 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　弧度制 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作单位来度量角的制度 1度的角 1度的角等于周角的　　，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度 1弧度的角 长度等于　半径长　的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.记作1 rad（rad可省略不写） 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α＝（l＝αr）. 2.弧度制与角度制的换算 （1）弧度制与角度制的互化（换算） 180°＝　π　 rad； 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝. （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π π π π π 2π 　　提醒：角度制和弧度制的比较：①弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制；②1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同；③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值；④用“度”作为单位度量角时，“度”（或“°”）不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写. 【想一想】 1.在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？ 提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同. 2.某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α｜α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？ 提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则会产生混乱，正确的表示方法应为或{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（　√　） （2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.（　×　） （3）1弧度的角等于1度的角.（　×　） （4）直角的弧度数为.（　√　） 2.360°化为弧度数是（　D　） A.　　　　B.π　　　　C.　　　　D.2π 知识点二　扇形的弧长及面积公式 　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝　αr　；扇形的面积：S＝　lr　＝　αr2　. 　　提醒：扇形面积公式的再理解：①在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度；②弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah（h是三角形底边a上的高）有类似的形式. 【想一想】 　圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小有关吗？ 提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定. 1.已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　） A.4 B.1 C.1或4 D.2 解析：B　设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则解得α＝1. 2.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为　　6π　　. 解析：扇形的面积为×62×＝6π. 题型一｜弧度制的概念 【例1】　下列说法中正确的是（　　） A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径长的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 解析：D　利用弧度的定义及角度的定义判断. 选项 结论 理由 A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位 B 错误 C 错误 D 正确 通性通法 弧度制与角度制的区别与联系 区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值 【跟踪训练】 　时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为（　　） A.π　　B.－π　　　C.π　　D.－π 解析：B　显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度数为×2π＝－π. 题型二｜角度与弧度的换算 【例2】　（1）将α1＝510°，α2＝－750°用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； 解：（1）∵1°＝ rad， ∴α1＝510°＝510×＝＝2π＋； α2＝－750°＝－750×＝－＝－4π－. ∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限. （2）将β1＝，β2＝－用角度表示出来，并在（－360°，360°）内找出与它们各自终边相同的所有的角. 解：（2）β1＝＝＝144°. 设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z）， ∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜360°， ∴k＝－1或k＝0. ∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°. β2＝－＝＝－330°. 设θ2＝k·360°－330°（k∈Z）， ∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜360°， ∴k＝0或k＝1. ∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°. 通性通法 角度制与弧度制转换中的注意点 （1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数； （2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记； （3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法； （4）判断角α终边所在的象限时，若α∉[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限. 【跟踪训练】 1.把下列弧度化为角度. （1）＝　690°　； （2）－＝　－390°　. 解析：（1）＝＝690°. （2）－＝－＝－390°. 2.将α＝－800°改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角. 解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋（－3）×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角. 题型三｜扇形的弧长公式及面积公式 【例3】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求： （1）这个圆心角所对的弧长； 解：（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝， 所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝. （2）这个扇形的面积. 解：（2）由（1）得扇形的面积S＝××＝. 【母题探究】 1.（变条件）本例条件变为“圆的半径为10，圆心角为60°”，完成本例问题（1）. 解：设圆心角为α，则α＝60°＝rad.又r＝10，∴l＝αr＝. 2.（变条件）本例条件变为“扇形的圆心角是，弧长为π”，完成本例问题（2）. 解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝lr＝. 通性通法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 （1）三个公式：｜α｜＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值； （2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解. 【跟踪训练】 1.已知某扇形的弧长和面积都为1，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A.1 B. C.2 D. 解析：B　设扇形的半径为r，圆心角为α，根据扇形的面积公式S＝lr，得1＝×1×r，∴r＝2.又扇形的弧长公式l＝r·α，∴α＝＝. 2.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48 cm，内环的弧长为16 cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24 cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）（　　） A.1 024 cm2 B.768 cm2 C.640 cm2 D.512 cm2 解析：B　设扇子对应的扇形的圆心角为α（α＞0），内环的半径为r cm，外环的半径为R cm，则R－r＝24 cm.因为扇环外环的弧长为48 cm，内环的弧长为16 cm，所以则α（R＋r）＝64 cm，所以该扇子的油布面积为S＝α（R2－r2）＝α（R＋r）（R－r）＝×64×24＝768 cm2. 拓视野　扇形的弧长公式的应用 能力提升 如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转. 【问题探究】 1.点P，Q第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s. 2.点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？ 提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝. 【迁移应用】 　若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？ 解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s. 1.〔多选〕下列各式正确的是（　　） A.－210°＝－　　　B.405°＝ C.335°＝ D.705°＝ 解析：ABD　对于A，－210°＝－210×＝－，正确；对于B，405°＝405×＝，正确；对于C，335°＝335×＝，错误；对于D，705°＝705×＝，正确. 2.若α＝－5，则角α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　因0＜2π－5＜，则角2π－5为第一象限角，α＝－5的终边与角2π－5的终边相同，故角α的终边在第一象限. 3.将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为　　－10π＋π　　. 解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋π. 4.已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C，面积为S，所在圆的半径为r. （1）若α＝36°，r＝10 cm，求扇形的弧长； （2）若C＝4 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 解：（1）α＝36°＝36×＝π，扇形的弧长l＝αr＝π×10＝2π（cm）. （2）设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝4， ∴l＝4－2r（0＜r＜2），则S＝lr＝（4－2r）r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1， 当r＝1时，Smax＝1 cm2，此时l＝4－2×1＝2 cm，α＝＝2， ∴S的最大值是1 cm2，此时扇形的半径是1 cm，圆心角是2 rad. 1.下列角与－的终边相同的是（　　） A.－　　　B.　　　C.　　　D.－ 解析：C　法一　由于－＝－4π＋，所以－与的终边相同，与的终边相同的角的集合为，令k＝1，α＝，故选C. 法二　因为－－＝－，－－＝－，－－＝－6π，－－＝－，只要两个角的差为周角的整数倍，那么其终边相同，故选C. 2.已知点P在圆O上先按顺时针方向旋转弧度，再按逆时针方向旋转弧度，则OP转过的角等于（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋转转过的角为正角，∴OP转过的角为－＋＝－.故选B. 3.与角－的终边相同的角的表达式为（　　） A.2kπ＋（k∈Z） B.k·360°－（k∈Z） C.k·360°－210°（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z） 解析：C　与角－的终边相同的角的表达式为2kπ－（k∈Z），或k·360°－210°（k∈Z）. 4.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（　　） A. B. C. D.2 解析：C　如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝. 5.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：A　∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的. 6.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　） A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2 解析：B　根据题设，弦＝2×4sin ＝4 m，矢＝4－4cos ＝2 m，故弧田面积＝×（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2≈9 m2. 7.－105°化为弧度为　－π　，π化为角度为　600°　. 解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝600°. 8.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为　4　，面积为　6π　. 解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π. 9.若角α的终边与角π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角的终边相同的角是　，，，　. 解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋（k∈Z）.令k＝0，1，2，3，得＝，，，. 10.已知角α＝1 200°. （1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角； （2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角. 解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又＜＜π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角. （2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，. 11.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝，是以O为圆心，OB为半径的圆落在△PBO内部的部分（其中A在PO上），若△PBO的面积与扇形OAB的面积之比为5∶3，记∠AOB＝α，则＝　　. 解析：由题意得S△PBO＝OB·OBtan α，S扇形OAB＝α·OB2，所以＝＝⇒＝. 12.某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60]. 解：∵秒针的旋转方向为顺时针， ∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad， ∴秒针端点A转过的路程为d＝｜α｜·r＝（cm）， ∴形成的扇形面积为S＝｜α｜·r2＝（cm2）， ∴d＝（t∈[0，60]），S＝（t∈[0，60]）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $